Đến nội dung

Hình ảnh

Lớp luyện thi VMO 2010 trên mạng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 79 trả lời

#61
thegioitoanhoc

thegioitoanhoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Số nguyên tố sánh đôi là gì thế ạ ?

#62
Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết

Số nguyên tố sánh đôi là gì thế ạ ?

Nếu $p$ và $p + 2$ đều là số nguyên tố thì đó được gọi là cặp số nguyên tố sánh đôi.

VD: 3 và 5 , 11 và 13.

"God made the integers, all else is the work of men"


#63
huuthanhdlv

huuthanhdlv

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
đã biết bao giờ thi VMO chua thầy ?

#64
Achilles

Achilles

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
11/3 thi ạ :D

#65
hocmai273

hocmai273

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
Thưa thầy, em muốn hỏi là sao mấy bài giảng về PTH thầy post lên lại mất hết các công thức vậy ạ, em chỉ thấy phần chữ.

#66
vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết

Thưa thầy, em muốn hỏi là sao mấy bài giảng về PTH thầy post lên lại mất hết các công thức vậy ạ, em chỉ thấy phần chữ.

Đây là file của anh Cẩn làm,tổng hợp các bài giảng và Tuyển tập các lời giải đề thi các tỉnh thành năm 2009-2010 của của thầy Nam Dũng,em có thể tham khảo.
Chúc em thành công!

File gửi kèm


Quy ẩn giang hồ

#67
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Tổng kết tuần 5, có 14 bạn tham gia giải. Đa số các bạn giải đúng 4 bài đầu.

Mời các bạn tham khảo lời giải của mạnh Nguyễn Mạnh Tiến.

File gửi kèm



#68
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Đây là đề số 7.

Hạn chót nộp bài là 17/1. Bài giải gửi về địa chỉ: [email protected].

Chúc các bạn làm bài tốt.

File gửi kèm



#69
nguyenmanhtien88

nguyenmanhtien88

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
Thưa thầy, em nghĩ vế trái của bài số 1 là (n-1).d ạ vì nếu là n.d thì bất đẳng thức không đúng khi n=2 và n=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenmanhtien88: 14-01-2010 - 19:47


#70
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết

Thưa thầy, em nghĩ vế trái của bài số 1 là (n-1).d ạ vì nếu là n.d thì bất đẳng thức không đúng khi n=2 và n=3


OK. Đúng là (n-1)d. Các bạn sửa lại hộ.

#71
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Tổng kết đề số 6: Có 15 bạn tham gia giải. Đề lần này khó nên không bạn nào giải được hết.

Đính kèm là lời giải của bạn Phạm Hy Hiếu. Bạn giải cả 5 bài nhưng lời giải bài 5 chưa chính xác.

Chúng tôi sẽ trình bày lời giải bài 5 sau.

File gửi kèm



#72
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Và sau đây là đề số 8.

Bài giải gửi về địa chỉ [email protected]. Hạn chót là ngày 24/1.

Chúc các bạn giải bài tốt.

File gửi kèm



#73
vu thanh tung

vu thanh tung

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Tổng kết đề số 6: Có 15 bạn tham gia giải. Đề lần này khó nên không bạn nào giải được hết.

Đính kèm là lời giải của bạn Phạm Hy Hiếu. Bạn giải cả 5 bài nhưng lời giải bài 5 chưa chính xác.

Chúng tôi sẽ trình bày lời giải bài 5 sau.

Bài 5 có thể xem ở "Tuyển tập một số vấn đề chọn lọc" trên diễn đàn

#74
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Phép chứng minh phản chứng

(Trích bài giảng: Các phương pháp và kỹ thuật chứng minh, chương trình Gặp gỡ Toán học tổ chức tại ĐHQG Tp HCM từ ngày 25-31/1/2010)

Chứng minh phản chứng có thể nói là một trong những vũ khí quan trọng của toán học. Nó cho phép chúng ta chứng minh sự có thể và không có thể của một tính chất nào đó, nó cho phép chúng ta biến thuận thành đảo, biến đảo thành thuận, nó cho phép chúng ta lý luận trên những đối tượng mà không rõ là có tồn tại hay không. Ví dụ kinh điển nhất về phép chứng minh phản chứng thuộc về Euclid với phép chứng minh

Định lý. Tồn tại vô số số nguyên tố.

Ở đây, Euclid đã giả sử ngược lại rằng tồn tại hữu hạn số nguyên tố $ p_1, p_2,..., p_n $. Ông xét tích $N = p_1p_2...p_n + 1$. N phải có ít nhất 1 ước số nguyên tố p. Khi đó, do $p_1, p_2,..., p_n $là tất cả các số nguyên tố nên tồn tại i sao cho $p = p_i $. Nhưng khi đó p | 1, mâu thuẫn.

Bài tập

1. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố dạng 4k+3.
2. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố dạng 4k+1.

Một chứng minh nổi tiếng khác bằng phương pháp phản chứng chính là chứng minh của Euler cho định lý nhỏ Fermat với trường hợp n = 4.

Định lý. Phương trình $x^4 + y^4 = z^4 $ (1) không có nghiệm nguyên dương.

Ông đã giả sử rằng phương trình (1) có nghiệm nguyên dương. Khi đó, theo nguyên lý cực hạn, tồn tại nghiệm $(x_0, y_0, z_0) $với $x_0 + y_0 + z_0 $nhỏ nhất. Sau đó, bằng cách sử dụng cấu trúc nghiệm của phương trình Pythagore $x^2 + y^2 = z^2 $, ông đi đến sự tồn tại của một nghiệm $(x_1, y_1, z_1) $có $x_1 + y_1 + z_1 < x_0 + y_0 + z_0$. Mâu thuẫn.

Phương pháp này thường được gọi là phương pháp xuống thang.

Bài tập

3. Chứng minh rằng phương trình $x^3 + 3y^3 = 9z^3 $ không có nghiệm nguyên dương.
4. Chứng minh rằng phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz $ không có nghiệm nguyên dương.

Chứng minh sử dụng mệnh đề phản đảo cũng là một phương án chứng minh phản chứng hay được sử dụng. Cơ sở của phương pháp là để chứng minh A -> B, ta có thể chứng minh ^B -> ^A . Về mặt bản chất thì hai phép suy diễn này có vẻ giống nhau, nhưng trong thực tế thì lại khá khác nhau. Ta thử xem xét 1 vài ví dụ.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số $ f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ là một đơn ánh từ R vào R.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu (p-1)! + 1 là số nguyên tố thì p là số nguyên tố.

Trong ví dụ 1, rõ ràng việc chứng minh $x_1 \ne x_2 $suy ra $f(x_1) \ne f(x_2) $ khó khăn hơn việc chứng minh $f(x_1) = f(x_2) $ suy ra $x_1 = x_2$, dù rằng về mặt logic, hai điều này là tương đương.

Trong ví dụ 2, gần như không có cách nào khác ngoài cách chứng minh nếu p là hợp số, p = r.s thì (p-1)! + 1 không chia hết cho p.

Bài tập.

5. Cho hàm số f: R -> R thoả mãn các điều kiện sau
1) f đơn điệu ;
2) f(x+y) = f(x) + f(y) với mọi x, y thuộc R.
Chứng minh rằng tồn tại số thực a sao cho f(x) = ax với mọi x thuộc R.
6. Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4$. Chứng minh rằng $ a + b + c \le 3 $.

Trong việc chứng minh một số tính chất bằng phương pháp phản chứng, ta có thể có thêm một số thông tin bổ sung quan trọng nếu sử dụng phản ví dụ nhỏ nhất. Ý tưởng là để chứng minh một tính chất A cho một cấu hình P, ta xét một đặc trưng f(P) của P là một hàm có giá trị nguyên dương. Bây giờ giả sử tồn tại một cấu hình P không có tính chất A, khi đó sẽ tồn tại một cấu hình P0 không có tính chất A với f(P0) nhỏ nhất. Ta sẽ tìm cách suy ra điều mâu thuẫn. Lúc này, ngoài việc chúng ta có cấu hình P0 không có tính chất A, ta còn có mọi cấu hình P với f(P) < f(P0) đều có tính chất A.

Ví dụ 3. Cho ngũ giác lồi ABCDE trên mặt phẳng toạ độ có toạ độ các đỉnh đều nguyên.
a) Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của ngũ giác (khác với A, B, C, D, E) có toạ độ nguyên.
b) Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong ngũ giác có toạ độ nguyên.
c) Các đường chéo của ngũ giác lồi cắt nhau tạo ra một ngũ giác lồi nhỏ $A_1B_1C_1D_1E_1 $bên trong. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong hoặc trên biên ngũ giác lồi $A_1B_1C_1D_1E_1$.


Câu a) có thể giải quyết dễ dàng nhờ nguyên lý Dirichlet: Vì có 5 điểm nên tồn tại ít nhất 2 điểm X, Y mà cặp toạ độ (x, y) của chúng có cùng tính chẵn lẻ (ta chỉ có 4 trường hợp (chẵn, chẵn), (chẵn, lẻ), (lẻ, chẵn) và (lẻ, lẻ)). Trung điểm Z của XY chính là điểm cần tìm.

Sang câu b) lý luận trên đây chưa đủ, vì nếu XY không phải là đường chéo mà là cạnh thì Z có thể sẽ nằm trên biên. Ta xử lý tình huống này như sau. Để ý rằng nếu XY là một cạnh, chẳng hạn là cạnh AB thì ZBCDE cũng là một ngũ giác lồi có các đỉnh có toạ độ đều nguyên và ta có thể lặp lại lý luận nêu trên đối với ngũ giác ZBCDE, … Ta có thể dùng đơn biến để chứng minh quá trình này không thể kéo dài mãi, và đến một lúc nào đó sẽ có 1 ngũ giác có điểm nguyên nằm trong.

Tuy nhiên, ta có thể trình bày lại lý luận này một cách gọn gàng như sau: Giả sử tồn tại một ngũ giác nguyên mà bên trong không chứa một điểm nguyên nào (phản ví dụ). Trong tất cả các ngũ giác như vậy, chọn ngũ giác ABCDE có diện tích nhỏ nhất (phản ví dụ nhỏ nhất). Nếu có nhiều ngũ giác như vậy thì ta chọn một trong số chúng. Theo lý luận đã trình bày ở câu a), tồn tại hai đỉnh X, Y có cặp toạ độ cùng tính chẵn lẻ. Trung điểm Z của XY sẽ có toạ độ nguyên. Vì bên trong ngũ giác ABCDE không có điểm nguyên nào nên XY phải là một cạnh nào đó. Không mất tính tổng quát, giả sử đó là AB. Khi đó ngũ giác ZBCDE có toạ độ các đỉnh đều nguyên và có diện tích nhỏ hơn diện tích ngũ giác ABCDE. Do tính nhỏ nhất của ABCDE (phản ví dụ nhỏ nhất phát huy tác dụng!) nên bên trong ngũ giác ZBCDE có 1 điểm nguyên T. Điều này mâu thuẫn vì T cũng nằm trong ngũ giác ABCDE.

Bài tập

7. Giải phần c) của ví dụ 3.
8. (Định lý Bezout) Chứng minh rằng nếu (a, b) = 1 thì tồn tại u, v sao cho au + bv = 1.

Phương pháp phản chứng thường hay được sử dụng trong các bài toán bất biến hoặc bài toán phủ hình để chứng minh sự không thực hiện được. Sau đây chúng ta xem xét 2 ví dụ như vậy.

Ví dụ 4. Xét hình vuông 7 x 7 ô. Chứng minh rằng ta có thể xoá đi một ô để phần còn lại không thể phủ kín bằng 15 quân trimino kích thước 1 x 3 và 1 quân trimino hình chữ L.

Ví dụ 5. Cho trước các hàm số $ f_1(x) = x^2 + 2x, f_2(x) = x + 1/x, f_3(x) = x^2 - 2x $ . Cho phép thực hiện các phép toán cộng hai hàm số, nhân hai hàm số, nhân một hàm số với một hằng số tuỳ ý. Các phép toán này có thể tiếp tục được thực hiện nhiều lần trên $f_i $ và trên các kết quả thu được. Chứng minh rằng có thể thu được hàm số 1/x từ các hàm số $f_1, f_2, f_3 $bằng các sử dụng các phép toán trên nhưng điều này không thể thực hiện được nếu thiếu một trong 3 hàm $f_1, f_2, f_3$.

Bài tập

9. Hình vuông 5 x 5 bỏ đi ô trung tâm. Chứng minh rằng có thể phủ phần còn lại bằng 8 quân trimino 1 x 3 nhưng không thể phủ được bằng 8 quân trimino hình chữ L. Tìm tất cả các giá trị k sao cho có thể phủ phần còn lại bằng k quân trimino 1 x 3 và 8-k trimino hình chữ L.

10. Trên vòng tròn ban đầu theo một thứ tự tuỳ ý có 4 số 1 và 5 số 0. Ở khoảng giữa hai chữ số giống nhau ta viết số 1 và ở khoảng giữa hai chữ số khác nhau ta viết số 0. Các số ban đầu bị xoá đi. Hỏi sau một số lần thực hiện như vậy ta có thể thu được một bộ gồm 9 số 0?

#75
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Tổng kết đề số 7.

Lần này có gần 30 bạn dự thi. Trong đó có các bạn sau có lời giải tốt nhất

1) Vũ Thanh Tùng
2) Trần Đỗ Hữu Toàn
3) Phạm Hy Hiếu
4) Nguyễn Mạnh Tiến
5) Nguyễn Hữu Thanh

Đính kèm là lời giải của bạn Vũ Thanh Tùng.

File gửi kèm



#76
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Do một số lý do nên đề số 9 của lớp được gửi muộn 2 ngày.

Đề số 9 chính là bài kiểm tra số 1 của chương trình Gặp gỡ toán học 2010 do ĐHQG Tp HCM tổ chức từ ngày 25/1-31/1/2010.

File gửi kèm



#77
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Tổng kết đề số 8

Có 13 bạn dự thi.

Hai bạn Phạm Hy Hiếu và Nguyễn Mạnh Tiến có lời giải tốt nhất. Tuy nhiên cả hai bạn đều có sai sót ở bài 4 khi bỏ qua nghiệm (2, 2).

Dưới đây là lời giải của bạn Nguyễn Mạnh Tiến (đã được bổ sung, chỉnh sửa)

File gửi kèm



#78
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Chào các bạn,

Hôm nay là ngày 1/2, đúng 2 tháng từ ngày lớp luyện thi VMO 2010 khai giảng. Trong suốt khóa học, chương trình đã được sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn học sinh, của các cựu Olympians và các thầy cô giáo. Chúng ta đã trải qua 9 bài thi, có được 1 số bài viết chuyên đề và ra được cuốn dethicactinh (song hành với mạng www.mathscope.org).

Ban chủ nhiệm lớp học xin cảm ơn các bạn Lê Nam Trường, Đinh Ngọc Thạch, Võ Quốc Bá Cẩn và một số bạn khác đã hỗ trợ trong việc ra đề và viết chuyên đề.

Xin biểu dương hai bạn Phạm Hy Hiếu và Nguyễn Mạnh Tiến đã tham gia giải đầy đủ nhất và cũng có kết quả tốt nhất. Ban tổ chức lớp học sẽ có các phần quà đặc biệt dành cho các bạn.

Hôm nay, chương trình lớp học xin được dừng tại đây. Đây là lúc các bạn học sinh cần có thời gian rà soát, kiểm tra lại những điều đã học, để ngấm sâu, ngấm kỹ.

Như một quà tặng nhân dịp Xuân về và Tết Nguyên đán sắp đến, gửi tặng các bạn 4 tài liệu:
1) Hướng dẫn thi HSG quốc gia (cảm ơn thầy Nguyễn Khắc Minh đã cung cấp tài liệu quan trọng này)
2) Tỷ số kép - Hàng điểm điều hòa - Cực-đối cực (Lê Nam Trường)
3) Nguyên lý Dirichlet (Trần Nam Dũng)
4) VMO 2010 Preparation (Trần Nam Dũng biên soạn)

Xin chúc các bạn một năm mới vui vẻ, thành công.

File gửi kèm



#79
huuthanhdlv

huuthanhdlv

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
Thi quốc gia có được dùng máy tính ko thầy ơi ?
Nếu được thì loại FX 570 ES có được ko ?
À ko biết mấy cái định lý về hàng điểm điều hòa và chùm điều hòa trong tài liệu thầy cho đó có được dùng ko chắng có lại chứng minh lại thì chịu thui. thà tìm cách khác còn ngon hơn !

#80
chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết

Thi quốc gia có được dùng máy tính ko thầy ơi ?
Nếu được thì loại FX 570 ES có được ko ?
À ko biết mấy cái định lý về hàng điểm điều hòa và chùm điều hòa trong tài liệu thầy cho đó có được dùng ko chắng có lại chứng minh lại thì chịu thui. thà tìm cách khác còn ngon hơn !


Ngày xưa làm bài TST anh cũng từng chứng minh nguyên cả một định lý của hàng điểm điều hòa rồi áp dụng vào bài toán, cũng không mất thời gian lắm, vì khi đã có hướng giải thì trình bày không mất nhiều thời gian (nếu đã trình bày quen), còn hơn là lọ mọ nghĩ cách khác trong kỳ thi. Đó là điều tối kị nhất trong khi thi, khi đã nghĩ ra một cách và chắc chắn đúng, thì phải làm ngay, khác với khi ôn luyện ở nhà.

Về trình bày, có hai cách áp dụng những bài toán, bổ đề, định lý mà ta đã biết (trong trường hợp phải chứng minh lại):
C1: Viết lại dưới dạng bổ đề (sẽ dễ cho người chấm hơn), nhưng mất thời gian phát biểu lại và vẽ hình mới
C2: Chứng minh lại bài toán đó ngay trong trường hợp cụ thể là bài đang làm, đỡ mất thời gian hơn (người chấm khó hiểu hơn).

Về kinh nghiệm bản thân thì có lời khuyên là nên chọn cách 1 ^^
The only way to learn mathematics is to do mathematics




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh