Bài giảng 1. Giải phương trình hàm bằng cách lập phương trình
Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là một phương pháp thông dụng trong các bài toán đại số. Ý tưởng là để tìm một ẩn số nào đó, ta đưa vào các ẩn số phụ, sử dụng các dữ kiện đã cho tạo ra mối liên hệ giữa các ẩn số đó (các phương trình), giải hệ phương trình, tìm ra giá trị của ẩn số cần tìm. Phương pháp tương tự cũng có thể áp dụng cho các bài toán hình học tính toán (chẳng hạn bài toán giải tam giác, tứ giác), các bài toán đếm (phương pháp dãy số phụ).
Trong bài này, chúng ta đề cập tới phương pháp lập phương trình, hệ phương trình để giải các bài toán phương trình hàm. Ý tưởng chung cũng là để tìm một giá trị f(x) hoặc f(a) nào đó, ta sử dụng phương trình hàm để tìm ra mối liên kết giữa các đại lượng, nói cách khác, tạo ra các phương trình số. Giải các phương trình số này, ta có thể tìm ra f(x) hoặc f(a) với a là một giá trị nào đó.
Với những phương trình hàm có 2 (hoặc nhiều hơn) phương trình điều kiện, ta có thể tìm cách kết hợp các phương trình đó để tìm ra f(x). Phương pháp cơ bản vẫn là tạo ra các mối liên kết, hay các phương trình bằng cách tính một giá trị bằng hai cách khác nhau.
Bài toán 1. Tìm tất cả các hàm số $ f: R -> R $ thoả mãn điều kiện
i) $ f(-x) = -f(x) $với mọi x thuộc R;
ii) $ f(x+1) = f(x) + 1 $với mọi x thuộc R;
iii) $ f(1/x) = f(x)/x^2 $ với mọi x khác 0.
Giải. Tất cả các điều kiện đều trên một biến x. Trong trường hợp này, ta có thể dùng một chút khái niệm về đồ thị để hiểu con đường đi đến lời giải. Ta xem các số thực như các đỉnh của một đồ thị. Đỉnh x sẽ được nối với các đỉnh x+1, -x, 1/x. Các điều kiện đề bài sẽ cho chúng ta các mối liên hệ giữa giá trị của hàm số tại các đỉnh được nối bởi một cạnh. Nếu chúng ta tìm được một chu trình thì một cách tự nhiên, chúng ta sẽ có 1 phương trình (để tránh hàm số có hai giá trị khác nhau).
Ta thử tìm một chu trình như vậy
$ x -> x+1 -> \dfrac{1}{x+1} -> - \dfrac{1}{x+1} -> 1 - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x}{x+1} -> \dfrac{x+1}{x} -> \dfrac{1}{x} -> x $
Đặt y = f(x) thì từ chu trình ở trên, ta lần lượt có
$ f(x+1) = y+1, f(\dfrac{1}{x+1}) = \dfrac{y+1}{(x+1)^2}, f(-\dfrac{1}{x+1}) = -\dfrac{y+1}{(x+1)^2}, f(\dfrac{x}{x+1}) = 1 - \dfrac{y+1}{(x+1)^2} = \dfrac{x^2+2x-y}{(x+1)^2}, f(\dfrac{x+1}{x}) = \dfrac{\dfrac{x^2+2x-y}{(x+1)^2}}{(\dfrac{x}{x+1})^2} = \dfrac{x^2+2x-y}{x^2}, f(1/x) = \dfrac{2x-y}{x^2}, f(x) = 2x-y $
Từ đó suy ra 2x - y = y, tức là y = x. Vậy f(x) = x.
Trong lý luận trên, ta cần đến điều kiện x khác 0 và -1. Tuy nhiên từ điều kiện f(x+1) = f(x) + 1 ta dễ dàng suy ra f(0) = 0 và f(-1) = 1. Vậy f(x) = x là tất các nghiệm của bài toán.
Bài toán 2. Tìm tất cả các hàm số f: R -> R thoả mãn điều kiện
$ f(x^2-y) = xf(x) - f(y) $ với mọi x, y thuộc R
Giải. Thay x = y = 0 vào phương trình hàm, ta được f(0) = - f(0), suy ra f(0) = 0. Thay y = 0 và phương trình hàm, ta được
$f(x^2) = xf(x) (1) $
Từ đó suy ra
$ f(x^2-y) = f(x^2) - f(y)$
Thay x = 0, ta được f(-y) = - f(y). Thay y bằng - y, ta được
$f(x^2+y) = f(x^2) - f(-y) = f(x^2) + f(y) $ với mọi x, y.
Từ đó, kết hợp với tính chất hàm lẻ, ta suy ra $f(x+y) = f(x) + f(y) $với mọi x, y.
Bây giờ ta có $f((x+1)^2) $một mặt có thể tính theo công thức (1), tức là bằng
$(x+1)f(x+1) = (x+1)(f(x)+f(1))$. Mặt khác, ta có thể khai triển
$f((x+1)^2) = f(x^2+2x+1) = f(x^2) + 2f(x) + f(1) = xf(x) + 2f(x) + f(1).$
Từ đó ta được phương trình $(x+1)(f(x)+f(1)) = xf(x) + 2f(x) + f(1)$, suy ra $f(x) = f(1)x$.
Đặt $f(1) = a$, ta được $f(x) = ax$. Thử lại vào phương trình ta thấy nghiệm đúng.
Vậy $f(x) = ax$ với a thuộc R là tất cả các nghiệm của bài toán.
Phương pháp tạo ra các mối liên kết cũng có thể áp dụng hiệu quả trong các bài toán phương trình hàm trên Q, N, Z. Ta xem xét một số ví dụ
Bài toán 3. Tìm tất cả các hàm số f : Q+ -> Q+ thoả mãn các điều kiện
i) $f(x+1) = f(x) + 1 $với mọi x thuộc Q+;
ii) $f(x^2) = f^2(x) $với mọi x thuộc Q+.
Giải. Từ điều kiện i) ta dễ dàng suy ra f(n) = n với mọi n thuộc Z và f(r+n) = f(r ) + n với mọi r thuộc Q và n thuộc Z. Bây giờ ta tính f(r ) với r = p/q. Ý tưởng ta sẽ tính $f((r+q)^2) $ theo f(r ) bằng hai cách.
Trước hết $f((r+q)^2) = f^2(r+q) = (f(r ) + q)^2 $ (1)
Mặt khác $f((r+q)^2) = f(r^2+2p+q^2) = f(r^2) + 2p + q^2 = f^2(r ) + 2p + q^2$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra $f^2(r ) + 2qf(r ) + q^2 = f^2(r ) + 2p + q^2 $=> $f(r ) = p/q = r$.
Vậy f(r ) = r với mọi r thuộc Q.
Bài toán 4. Tìm tất cả các hàm số f: N -> N sao cho
$f(m^2+n^2) = f^2(m) + f^2(n) $ với mọi m, n thuộc N
Giải. Cho m = n = 0, ta được $f(0) = 2f^2(0)$, suy ra f(0) = 0. Cho m = 1, n = 0, ta được f(1) = 0 hoặc f(1) = 1. Ta xét trường hợp f(1) = 1, trường hợp f(1) = 0 xét tương tự. Với f(1) = 1, ta lần lượt tính được
$ f(2) = f(1^2+1^2) = f^2(1) + f^2(1) = 2 $
$ f(4) = f(2^2+0^2) = f^2(2) + f^2(0) = 4 $
$ f(5) = f(2^2+1^2) = f^2(2) + f^2(1) = 5 $
Nhưng làm sao để tính, chẳng hạn f(3)? Rõ ràng f(3) không thể tính được theo sơ đ?#8220; trên được, vì 3 không biểu diễn được dưới dạng tổng của hai bình phương.
Ta nhớ lại một bài toán lớp 3. Có 1 cái cân đĩa với 2 quả cân 1kg, 5kg và 1 bao đường nặng 10kg. Hãy cân ra 7kg đường bằng 1 lần cân. Rõ ràng, với cách cân thông thường thì ta chỉ cân được 1kg đường, 4kg đường (5-1), 5 kg đường và 6kg đường. Tuy nhiên, nếu tinh ý 1 chút, ta có thể có phương án cân được 7kg đường như sau: Đặt vào đĩa bên trái quả cân 1kg và 10kg đường, đĩa bên phải là quả cân 5kg, sau đó chuyển dần đường từ bên trái sang bên phải sao cho cân cân bằng, khi đó số đường còn lại ở đĩa bên phải là 7kg !
Bây giờ ta cũng thủ thuật tương với bài toán này. Ta không tính được trực tiếp f(3) nhưng ta lại có $f^2(5) = f(25) = f(3^2+4^2) = f^2(3) + f^2(4)$. Từ đó ta được f(3) = 3.
Tương tự như vậy ta có thể tính được f(6) nhờ vào đẳng thức $6^2 + 8^2 = 102$, trong đó $f(8) = f(2^2+2^2) = 2f^2(2) = 8$, $f(10) = f(3^2+1^2) = f^2(3) + f^2(1) = 10$.
Tiếp tục, để tính f(7), ta để ý $7^2 + 1 = 50 = 5^2 + 5^2$, từ đó f(7) = 7. Cũng như thế, do $11^2 + 2^2 = 10^2 + 5^2 $nên ta suy ra f(11) = 11.
Cách làm này có thể tổng quát hoá như thế nào? Ý tưởng là nếu $m^2 + n^2 = p^2 + q^2 (1) $thì $f^2(m) + f^2(n) = f^2(p) + f^2(q)$. Do đó nếu ta đã tính được f(n), f(p), f(q) thì f(m) cũng sẽ tính được.
Làm thế nào để có được những đẳng thức dạng (1) ở dạng tổng quát, cho phép ta chứng minh f(n) = n với mọi n bằng quy nạp? Chú ý rằng (1) có thể viết lại thành (m-p)(m+p) = (q-n)(q+n) = N. Do đó nếu chọn những số N có 2 cách phân tích thành tích của những số có cùng tính chẵn lẻ, ta sẽ tìm được nghiệm cho (1). Chọn N = 8k = 2.4k = 4.2k và N = 16k = 4.4k = 8.2k, ta được hệ
m - p = 2, m+p = 4k, q - n = 4, q + n = 2k
và
m - p = 4, m+p = 4k, q - n = 8, q + n = 2k
Từ đó được các hằng đẳng thức tương ứng
$ (2k+1)^2 + (k-2)^2 = (2k-1)^2 + (k+2)^2$
và
$ (2k+2)^2 + (k-4)^2 = (2k-2)^2 + (k+4)^2$
Từ hai đẳng thức này, với chú ý là ta đã chứng minh được f(n) = n với n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được rằng f(n) = n với mọi n thuộc N.
Trường hợp f(1) = 0, cũng bằng cách lý luận nêu trên ta suy ra f(n) = 0 với mọi n thuộc N.
Bài tập.
1. Tìm tất cả các hàm số f: Q -> Q thoả mãn các điều kiện
i) $ f(x+1) = f(x) + 1 $với mọi x thuộc Q;
ii) $f(x^3) = f^3(x) $với mọi x thuộc Q;
2. Tìm tất cả các hàm f: R \ {0} -> R thoả mãn đ?#8220;ng thời các điều kiện
i) f(1) = 1;
ii) f(1/(xy)) = f(1/x) + f(1/y)
iii) (x+y)f(x+y) = xyf(x)f(y)
với mọi x, y mà xy(x+y) khác 0.
3. Tìm tất cả các hàm số f: R -> R thoả mãn
$f(x^5 - y^5) = x^2f(x^3) - y^2f(y^3) $với mọi x, y thuộc R.
4. Tìm tất cả các hàm số f: Z -> Z thoả mãn điều kiện
$f(a^3+b^3+c^3) = f^3(a) + f^3(b) + f^3(c )$
với mọi a, b, c thuộc Z.
5. Cho hàm số f: R -> R thoả mãn điều kiện
i) $f(x^2) = f^2(x)$ với mọi x thuộc R;
ii) $f(x+1) = f(x) + 1$ với mọi x thuộc R.
Chứng minh rằng f(x) = x.
2VMO2010_Deso1.doc 39.5K
558 Số lần tải
