Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì
$ |\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.$
Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc ) nhau thì tích trong của chúng bằng zero.
Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide.
Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục.
Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong
$ |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\, $
Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A. Schwarz vào năm 1885.
Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <y, y> khác zero. Giả sử λ là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:
$0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2 = \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x,x \rangle - \lambda \langle x,y \rangle - \bar{\lambda} \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle. $
Chọn
$ \lambda = \langle y,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1}$
chúng ta được
$ 0 \leq \langle x,x \rangle - |\langle x,y \rangle|^2 \cdot \langle y,y \rangle^{-1}$
mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi
$|\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle $
hay tương đương:
$ \big| \langle x,y \rangle \big| \leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|. $
(điều phải chứng minh)
Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý
* Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức này trở thành
$ \left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)$.. Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: |\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}| |\cos \theta| \le |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|. Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng:
$ \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2.$
Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức
* Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có
$ \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx.$
Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.
Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz $\dfrac {(a_1 + a_2 + ...+a_{n-1}+ a_n)^2}{b_1 + b_2 + ..+ b_{n-1} + b_n} \leq \dfrac {a_1^2}{b_1} + \dfrac {a_2^2}{b_2} +...+ \dfrac {a_{n-1}^2}{b_{n-1}} + \dfrac {a_n^2}{b_n}$
[sửa] Một vài ứng dụng
Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau: cho các vector x và y,
$ \|x + y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle$
$ = \|x\|^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \|y\|^2$
$ \le \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2$
$\le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2$
$\le \left(\|x\| + \|y\|\right)^2$
Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được dùng để chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 30-12-2009 - 16:56
