Chủ đề này có 10 trả lời

[x20gamer]

CMR : VỚI $a,b,c \geq 0$ thì

$\dfrac{1}{1+a^2} + \dfrac{1}{1+b^2} + \dfrac{1}{1+c^2} \geq \dfrac{3}{1+abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi x20gamer: 16-12-2009 - 22:18

[nhungtuyet]

Đề bài sai rồi:
Ví dụ a=b=1, c=0
=> VT= 1/2 +1/2 +1=2
VP=3
=> VT < VP.
Đề bài đúng là thêm đ/k :abc>1

[nguyen_ct]

điều kiện $a,b,c \ge 1 $ chứ nhỉ !

[tranvietcuong]

thử chứng mình đúng với 2 số, sau đó CM giống với 3 số(giống như CM cauchy 3 số) ấy

[daihiep]

Bài này có trong Sáng tạo bẩt đẳng thức của Phạm Kim Hùng!

[nguyễn duy thanh]

Bài này có trong Sáng tạo bẩt đẳng thức của Phạm Kim Hùng!

Sáng tao BDDT là jif
đâu pán

[thuytien92]

Bài này cần điều kiện là $ a,b,c \geq 1 $

do $ a,b,c \geq 1 $ nên
$ \dfrac{1}{1+a^2} \geq \dfrac{1}{1+a^3},.... $
$ => \dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+c^2} \geq \dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3}$ (1)
ta sử dụng phương án quy nạp cô si để chứng mình :
$ \dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3} \geq \dfrac{3}{1+abc} $

+) chứng minh nếu $ x,y \geq 1 $ thì
$ \dfrac{1}{1+x^2}+ \dfrac{1}{1+y^2} \geq \dfrac{2}{1+xy} (<=> (xy-1)(x-y)^2 \geq 0) $
+)lấy thêm $ d \geq 1 $
bi giờ do trên
$ \dfrac{1}{1+a^3} + \dfrac{1}{1+b^3} \geq \dfrac{2}{1+ \sqrt{a^3.b^3}}; $
$ \dfrac{1}{1+c^3} + \dfrac{1}{1+d^3} \geq \dfrac{2}{1+\sqrt{c^3.d^3}}; $
$ \dfrac{1}{1+ \sqrt{a^3.b^3}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{c^3.d^3}} \geq \dfrac{2}{1+\sqrt[4]{a^3b^3c^3d^3}} $
$ => \dfrac{1}{1+a^3} + \dfrac{1}{1+b^3} +\dfrac{1}{1+c^3} + \dfrac{1}{1+d^3} \geq \dfrac{4}{1+\sqrt[4]{a^3b^3c^3d^3}} $
+)chọn $ d=\sqrt[3]{abc} $
$ => \dfrac{1}{1+a^3} + \dfrac{1}{1+b^3} +\dfrac{1}{1+c^3} \geq \dfrac{3}{1+abc} $ (2)
+)từ $ (1),(2)=> dpcm $
p/s : Sáng tạo bất đẳng thức là quyển sách viết về bất đẳng thức của anh Phạm Kim Hùng, cuốn này hay cực kì ^^! . Bạn có thể lên mạng tìm bản ebook nhưng mà nên mua sách gốc để ủng hộ tác giả ( mặc dù bây giờ toàn sách lậu =.=, thầy tớ cũng dùng =.= vì hok thấy sách gốc )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuytien92: 15-02-2010 - 21:21

[hoangnbk]

nếu có đk $abc \geq 1$ thì anh em dùng Jensen cho nhanh ^^:
sử dụng bất đẳng thức quen biết $ \dfrac{1}{1+a^2}+ \dfrac{1}{1+b^2} \geq \dfrac{2}{1+ab}$
đặt $ f(x)= \dfrac{1}{1+x^2}$, từ bdt trên suy ra $ f(a)+f(b) \geq 2f( \sqrt[2]{ab} )$
do đó, sd bdt Jensen, ta có:
$ f(a)+f(b)+ f( c ) \geq 3f( \sqrt[3]{abc} ) $
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+c^2}\geq \dfrac{3}{1+ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}} \geq \dfrac{3}{1+abc} $
(do $abc \geq 1$ nên $ \sqrt[3]{a^2b^2c^2} = \dfrac{abc}{\sqrt[3]{abc}} \leq abc$)
Sử dụng Jensen, ta còn có 1 bdt chặt hơn cho n số mà ko cần đk tích các số lớn hơn hoặc bằng 1 là:
$ f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) \geq n.f( \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}) $
tức là $ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{1+x_i^2} \geq \dfrac{n}{1+ \sqrt[n]{ \bigcap\limits_{i=1}^{n}x_i^2 }}$
hừ, chả tìm thấy chữ tích đâu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangnbk: 18-02-2010 - 18:14

[chi tu]

can gi phai dung bat dang thuc jensen cosi 3 so la dc. bai nay co trong "500 bai toan bat dang thuc" cua phan huy khai

[hoangnbk]

Tớ thấy dùng Jensen ra ngay kết quả mà ko cần tính toán gì nên dùng thôi, mà dùng Jensen còn có thêm nhiều kết quả khác chặt hơn. (VD bên trên là 1 kết quả)

[An Infinitesimal]

hừ, chả tìm thấy chữ tích đâu

Chính là:
\prod