Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Một Phương pháp Phân tích bình phương SOS


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 18 trả lời

#1 linhdieu12

linhdieu12

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 20-12-2009 - 11:17

Trãi qua một thời gian dài, nhân loại đã tìm ra rất nhiều cách chứng minh BDT. Người Việt Nam ta cũng đã phát minh ra 1 pp chứng minh BDT hay mà phải nói là mạnh, đó là pp phân tích bình phương SOS. Thông thường khi phân tích ta phải nhóm các số hạng sao cho hợp lí và phải nhớ các cách phân tích cơ bản, việc này đòi hỏi một quá trình rèn luyện lâu dài mới có thể gọi là thành thạo. Hôm nay mình xin trình bày 1 cách phân tích SOS mà theo mình la đơn giản và không cần nhớ các phân tích cơ bản mà chỉ biết cách chia đa thức là đã có thể phân tích được. Mình xin nêu ra 1 ví dụ:
1) Phân tích SOS cho biểu thức: $M= 4(a^3+b^3+c^3)-(a+b)(b+c)(c+a)-4abc$
Giải: Cho $a=b$, ta có $M=(6a+4c)(a-c)^2$ (1)
Cho $b=c$, ta có $M=(6b+4a)(a-b)^2$ (2)
Cho $c=a$, ta có $M=(6c+4b)(b-c)^2$ (3)
Từ đó ta có hệ gồm 3 pt sau:
$S_a+S_b=3a+3b+4c$ (1')
$S_b+S_c=3b+3c+4a$ (2')
$S_c+S_a=3c+3a+4b$ (3')
Từ đây ta tính được $S_a=2b+2c+a$ ; $S_b=2a+2c+b$ ; $S_c=2a+2b+c$
Vậy ta có : $M= (2b+2c+a)(b-c)^2+(2a+2c+b)(c-a)^2 + (2a+2b+c)(a-b)^2$
* Chắc các bạn thắc mắc rằng tại sao ta có hệ trên. Chú ý là các biểu thức $S_a,S_b,S_c$ là các biểu thức bán đối xứng.Ở (1) ta đã gọp a và b thành một nên sau khi chia xong ta phải tách chúng ra mà cụ thể $6a=3a+3b$ . Tương tự đó với (2) và (3).
Sau đây là ví dụ khác.
2) Phân tích SOS cho biểu thức $N=a^3+b^3+c^3+3abc-a^2(b+c)-b^2(c+a)-c^2(a+b)$
Giải: Cho $a=b$, thì $N=c(a-c)^2$
Cho $b=c$, thì $N=a(b-a)^2$
Cho $c=a$ , thì $N= b(c-b)^2$
Từ đây ta được hệ gồm 3 pt sau:
$S_a+S_b=c$
$S_b+S_c=a$
$S_c+S_a=b$
từ đây ta tính được $S_a= \dfrac{b+c-a}{2}$ ; $S_b=\dfrac{a+c-b}{2}$ ; $S_c=\dfrac{a+b-c}{2}$
Từ đây ta kết luận: $N= \dfrac{b+c-a}{2}(b-c)^2+\dfrac{a+c-b}{2}(c-a)^2+\dfrac{a+b-c}{2}(a-b)^2$.
Ví dụ 3)
Phân tích SOS cho biểu thức $A=a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c)$.
Giải:
Cho $a=b$ ta có $A=(2a^2+2ac+c^2)(a-c)^2$
cho $b=c$ ta có $A=(2b^2+2ab+a^2)(a-b)^2$
cho $a=c$ ta có $A=(2c^2+2bc+b^2)(b-c)^2$
Từ đó ta được hệ gồm 3 pt sau
$S_a+S_b=a^2+b^2+ac+bc+c^2$
$S_b+S_c=b^2+c^2+ab+ac+a^2$
$S_c+S_a=c^2+a^2+bc+ab+b^2$
Từ đây ta tính được
$S_a=\dfrac{a^2+(b+c)^2}{2} ; S_b=\dfrac{b^2+(a+c)^2}{2} ; S_c=\dfrac{c^2+(a+b)^2}{2}$
Vậy $A= \dfrac{a^2+(b+c)^2}{2}(b-c)^2+\dfrac{b^2+(c+a)^2}{2}(c-a)^2 + \dfrac{c^2+(a+b)^2}{2}(a-b)^2$
Vì thời gian có hạn nên mình chỉ post vài ví dụ minh họa, mong các bạn góp ý. Nếu có sai sót xin bỏ qua!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhdieu12: 21-12-2009 - 16:10


#2 abstract

abstract

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối A0

Đã gửi 20-12-2009 - 12:24

Theo minh day la mot pp phan tich binh phuong kha hay va moi la
Đã mang tiếng ở trong trời đất
Phải có danh gì với núi sông


#3 hoangnbk

hoangnbk
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 25-12-2009 - 21:01

Có lẽ bài này bạn nên gửi vào mục các chuyên đề bdt trong box Olympiad. Trong ấy cũng có 1 phương pháp phân tích bình phương S.O.C của VIF rất hay:
http://diendantoanho...?...&pid=196049

#4 linhdieu12

linhdieu12

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 26-12-2009 - 09:46

Có lẽ bài này bạn nên gửi vào mục các chuyên đề bdt trong box Olympiad. Trong ấy cũng có 1 phương pháp phân tích bình phương S.O.C của VIF rất hay:
http://diendantoanho...?...&pid=196049

Bạn có thể chuyển giúp mình được hok, mình hok biết chuyển !!

#5 Janienguyen

Janienguyen

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 352 Bài viết

Đã gửi 26-12-2009 - 09:49

Bạn có thể chuyển giúp mình được hok, mình hok biết chuyển !!

Chuyển sag box olympiad đúng không bạn?cái đấy hình như phải nhờ mod thì phải :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 26-12-2009 - 09:51

Life is a highway!

#6 linhdieu12

linhdieu12

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 26-12-2009 - 09:53

Nếu bạn nào có vị dụ hay thì post lên kèm theo cách phân tích . các bạn sẽ dễ dàng nhận ra pp này chỉ thích hợp cho đa thức , ko thích hợp cho phân thức, đây cũng là điểm yếu lớn nhất của pp này , mình đang tìm cách cải tiến nó, mong các bạn đóng góp!

#7 Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:FU
  • Sở thích:Math

Đã gửi 27-12-2009 - 18:23

đến bây giờ mình mới tìm ra nhược điểm của cách phân tích này,
từ biểu thức ban đầu:
$S = {S_a}{(b - c)^2} + {S_b}{(a - c)^2} + {S_c}{(a - b)^2}$
khi bạn thay $a=b$
thì $S = (S_a^{'} + S_b^{'}){(a - c)^2}$
nếu như biểu thức ${S_a};{S_b}$ mà là biểu thức phức tạp (trong đó các biến a,b,c "phân bố" đều) thì lúc đó
${S_a} \ne S_a^{'};{S_b} \ne S_b^{'}$
cách phân tích này chỉ đúng nếu ${S_c}$ là biểu thức đối xứng với hai biến $a,b$,tương tự với ${S_a};{S_b}$
cách này rất hiệu quả đối với những bất đẳng thức ba biến đối xứng dạng đa thức,nhưng nếu là phân thức chắc chắn sẽ không đơn giản
có thể cho ví dụ như sau:
xét biểu thức:
$\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{a + c}} + \dfrac{c}{{a + b}} - \dfrac{3}{2}$
khi cho $a=b$
biểu thức trở thành:
$\dfrac{{{{(a - c)}^2}}}{{2a(a + c)}}$
đến đây rất khó có thể đoán được giá trị của ${S_b} + {S_a}$
và ta phải giải một bài toán khác phức tạp không kém:
$S_a^{'} + S_b^{'} = \dfrac{{{{(a - c)}^2}}}{{2a(a + c)}}$
trong đó:
$S_a^{'} = f(a;a;c)$
và $f(a;b;c) = {S_a}$
----------------------------------------
còn nếu như biểu thức cần phân tích là biểu thức hoán vị thì công việc này lại trở nên cực kì khó khăn,bạn thử phân tích bình phương cho biểu thức này dựa vào cách trên xem:
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} - 3$
:geq
cách phân tích này vẫn phải dựa vào dự đoán là chính :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 27-12-2009 - 18:46

=.=


#8 bl4ck_kuo

bl4ck_kuo

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 28-12-2009 - 12:15

Bạn Toán logi.. gì gì đó nói đúng là việc bđt có phân thức sẽ rất khó khăn. Tuy nhiên chỉ cần 1 phép quy đồng đơn giản đã đưa đc về dạng đa thức. :)

#9 linhdieu12

linhdieu12

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 28-12-2009 - 15:15

Có lẽ phải cần chuyên gia cho ý kiến!

#10 apollo_1994

apollo_1994

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 267 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2009 - 18:27

Bạn Toán logi.. gì gì đó nói đúng là việc bđt có phân thức sẽ rất khó khăn. Tuy nhiên chỉ cần 1 phép quy đồng đơn giản đã đưa đc về dạng đa thức. :)

Trích lại bài này:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a} -3$

Cứ cho là đưa về đa thức đi,xong nó sẽ ra cái này
$ab^2+bc^2+ca^2-3abc$
liệu có SOS theo cách trên được không?(Em nháp sơ qua hình như không được) :geq.Vậy cách trên chỉ áp dụng với các đa thức đối xứng, còn các đa thức hoán vị vòng tròn như trên thì không được??

#11 bl4ck_kuo

bl4ck_kuo

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 29-12-2009 - 12:18

Trích lại bài này:

Cứ cho là đưa về đa thức đi,xong nó sẽ ra cái này
$ab^2+bc^2+ca^2-3abc$
liệu có SOS theo cách trên được không?(Em nháp sơ qua hình như không được) :D.Vậy cách trên chỉ áp dụng với các đa thức đối xứng, còn các đa thức hoán vị vòng tròn như trên thì không được??

đồng ý.

#12 linhdieu12

linhdieu12

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 29-12-2009 - 14:16

Phương pháp SOS chỉ dùng được cho các bất đẳng thức đối xứng , còn BDT như trên của bạn thì phải dùng SOC. Có lẽ bạn Toanlogi chưa hiểu rõ pp của mình!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhdieu12: 29-12-2009 - 14:21


#13 Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:FU
  • Sở thích:Math

Đã gửi 31-12-2009 - 19:29

Phương pháp SOS chỉ dùng được cho các bất đẳng thức đối xứng , còn BDT như trên của bạn thì phải dùng SOC. Có lẽ bạn Toanlogi chưa hiểu rõ pp của mình!

quan niệm của bạn là quá sai lầm,ta có thể hoàn toàn sử dụng SOS để chứng minh bất đẳng thức hoán vị,tuy nhiên biểu diễn cơ sở cho bđt hoán vị khó hơn so với bđt đối xứng :-?
không thể có cách biểu diễn SOS chung cho các bài toán

=.=


#14 Messi_ndt

Messi_ndt

    Admin batdangthuc.com

  • Thành viên
  • 679 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:FC Barcelona
  • Sở thích:Mathematical, Football and a girl.

Đã gửi 06-01-2010 - 23:10

quan niệm của bạn là quá sai lầm,ta có thể hoàn toàn sử dụng SOS để chứng minh bất đẳng thức hoán vị,tuy nhiên biểu diễn cơ sở cho bđt hoán vị khó hơn so với bđt đối xứng :)
không thể có cách biểu diễn SOS chung cho các bài toán

Yes!Bản chất mà mình đọc được hình như cũng xuất phát từ hoán vị và đói xứng.À,mà cái S.O.S này có phải bản quyền đang nằm trong tay ai vậy.Bạn anh Khánh hay là ông Trần Phương?

#15 dkimson

dkimson

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên Vĩnh Phúc

Đã gửi 07-01-2010 - 12:12

1) Phân tích SOS cho biểu thức: $M= 4(a^3+b^3+c^3)-(a+b)(b+c)(c+a)-4abc$
Giải: Cho $a=b$, ta có $M=(6a+4c)(a-c)^2$ (1)
Cho $b=c$, ta có $M=(6b+4a)(a-b)^2$ (2)
Cho $c=a$, ta có $M=(6c+4b)(b-c)^2$ (3)
Từ đó ta có hệ gồm 3 pt sau:
$S_a+S_b=3a+3b+4c$ (1')
$S_b+S_c=3b+3c+4a$ (2')
$S_c+S_a=3c+3a+4b$ (3')
Từ đây ta tính được $S_a=2b+2c+a$ ; $S_b=2a+2c+b$ ; $S_c=2a+2b+c$
Vậy ta có : $M= (2b+2c+a)(b-c)^2+(2a+2c+b)(c-a)^2 + (2a+2b+c)(a-b)^2$
* Chắc các bạn thắc mắc rằng tại sao ta có hệ trên. Chú ý là các biểu thức $S_a,S_b,S_c$ là các biểu thức bán đối xứng.Ở (1) ta đã gọp a và b thành một nên sau khi chia xong ta phải tách chúng ra mà cụ thể $6a=3a+3b$ . Tương tự đó với (2) và (3).
Sau đây là ví dụ khác.
2) Phân tích SOS cho biểu thức $N=a^3+b^3+c^3+3abc-a^2(b+c)-b^2(c+a)-c^2(a+b)$
Giải: Cho $a=b$, thì $N=c(a-c)^2$
Cho $b=c$, thì $N=a(b-a)^2$
Cho $c=a$ , thì $N= b(c-b)^2$
Từ đây ta được hệ gồm 3 pt sau:
$S_a+S_b=c$
$S_b+S_c=a$
$S_c+S_a=b$
từ đây ta tính được $S_a= \dfrac{b+c-a}{2}$ ; $S_b=\dfrac{a+c-b}{2}$ ; $S_c=\dfrac{a+b-c}{2}$
Từ đây ta kết luận: $N= \dfrac{b+c-a}{2}(b-c)^2+\dfrac{a+c-b}{2}(c-a)^2+\dfrac{a+b-c}{2}(a-b)^2$.
Ví dụ 3)
Phân tích SOS cho biểu thức $A=a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c)$.
Giải:
Cho $a=b$ ta có $A=(2a^2+2ac+c^2)(a-c)^2$
cho $b=c$ ta có $A=(2b^2+2ab+a^2)(a-b)^2$
cho $a=c$ ta có $A=(2c^2+2bc+b^2)(b-c)^2$
Từ đó ta được hệ gồm 3 pt sau
$S_a+S_b=a^2+b^2+ac+bc+c^2$
$S_b+S_c=b^2+c^2+ab+ac+a^2$
$S_c+S_a=c^2+a^2+bc+ab+b^2$
Từ đây ta tính được
$S_a=\dfrac{a^2+(b+c)^2}{2} ; S_b=\dfrac{b^2+(a+c)^2}{2} ; S_c=\dfrac{c^2+(a+b)^2}{2}$
Vậy $A= \dfrac{a^2+(b+c)^2}{2}(b-c)^2+\dfrac{b^2+(c+a)^2}{2}(c-a)^2 + \dfrac{c^2+(a+b)^2}{2}(a-b)^2$


Phương pháp phân tích này khá hay, nhưng có lẽ chỉ phân tích được các bất đẩng thức đối xứng giữa ba biến và đẳng thức xảy ra khi a=b=c. Xét ví dụ khác, bạn thử dùng PP pháp này phân tích đẳng thức sau

$(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3 b+b^3 c+c^3 a)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dkimson: 07-01-2010 - 12:18


#16 Messi_ndt

Messi_ndt

    Admin batdangthuc.com

  • Thành viên
  • 679 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:FC Barcelona
  • Sở thích:Mathematical, Football and a girl.

Đã gửi 07-01-2010 - 18:53

Phương pháp phân tích này khá hay, nhưng có lẽ chỉ phân tích được các bất đẩng thức đối xứng giữa ba biến và đẳng thức xảy ra khi a=b=c. Xét ví dụ khác, bạn thử dùng PP pháp này phân tích đẳng thức sau

$(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3 b+b^3 c+c^3 a)$

Đúng là kiểu bất đẳng thức đối xứng 3 biến là nhiêu.Nhưng loại này cung có vô số bài tuyệt rồi.Như anh Cẩn và nhiều người nói thì hiện nay nó là mãnh đất màu mỡ của bdt mà. Các bài toán của nó có tính hấp dẫn lạ kì bởi cấu trúc đẹp.

#17 apollo_1994

apollo_1994

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 267 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-02-2010 - 22:12

Nhưng tại sao dùng nó để phân tích bài này thì lại không được?
$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)-3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(ab+bc+ca)$
Cho $a=b$ : $3a^2c^2(a-c)^2$
..Tính được $S_a= \dfrac{3}{2}b^2c^2$...
Cuối cùng bấm máy-->sai
Ai giải thích giùm.
Hay mình tính sai nhỉ?

#18 tthnew

tthnew

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 17-04-2019 - 09:04

Đây thật là một phương pháp hay ạ!Nhưng cách anh/chị có thể giải đáp giúp em bài này không,em giải được một số bước rồi lại không biết giải tiếp thế nào:

Đề: Phân tích bình phương SOS cho biểu thức:$M = (a+b+c)^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3}$

        Em thực hiện như sau ạ:

Cho a = b,thay b bởi a vào biểu thức, ta được $M = 6a(c+a)^{2}$

Cho b = c,thay c bởi b vào biểu thức, ta được: $M = 6b(a+b)^{2}$

Cho c = a,thay a bởi c vào biểu thức, ta được: $M = 6c(b+c)^{2}$

Tới đây em không biết giải tiếp thế nào,vì thấy "đuôi" : $(c+a)^{2};...$

Mong mọi người giúp đỡ em ạ,em mới giá nhập diễn đàn.Em cảm ơn!

 



#19 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1223 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 18-04-2019 - 11:17

Cách của linhdieu

$$\it{13}$$

đúng là có nhược điểm$.$ Ví dụ về S*O*S này chưa đủ sức thuyết phục$,$ các bất đẳng thức được đưa là bậc$:$ $\text{deg}= 3,\,4$$.$ Nguyên nhân để tiền bối này đưa ra được ví dụ hay và đúng thực ra là do bậc của$:$ $S_{\,a}$ chỉ là $1$$,$ vì thế$:$ vai trò của$:$ $a$ và $b$ trong$:$ $S_{a}(\,b- c\,)^{\,2}$ như nhau$,$ bậc nhất thì dễ$.$ Bậc cao thì không đúng nữa$:$ 

Chẳng hạn$,$ đa thức bậc cao như$:$ $f(\,a,\,b)= a^{\,4}+ b^{\,4}+ 2\,a^{\,2}b^{\,2}+ a^{\,3}b+ ab^{\,3}$$,$ vậy nếu$:$ $f(\,a,\,b)\equiv f(\,a,\,a\,) $ thì chỉ cần hệ số trong đa thức cân bằng thôi thì cũng hàng vô số đa thức như vậy$:$ 

$$f(\,a,\,a)= 6\,a^{\,4}= 3\,a^{\,4}+ 3\,b^{\,4}= 2\,a^{\,4}+ 2\,b^{\,4}+ a^{\,3}b+ ab^{\,3}= a^{\,4}+ b^{\,4}+ 4\,a^{\,2}b^{\,2}= \,...\,$$

hàng loạt đa thức đối xứng$:$ $f(\,a,\,b\,)$$,$ còn bài về ví dụ bất đẳng thức bậc $4$ thì duyên cớ là đa thức vế trái có hệ số khác không cho bậc $4$ và bậc $2$ mà không có bậc $3$ $($hiển nhiên chỉ có một đa thức $S_{\,a}$ đối xứng rồi$!$

Câu hỏi của tthnew$:$ 

Thật ra phương pháp trên cũng có thể gọi là phương pháp có lý$,$ đơn giản$:$ $f(\,a,\,b)\geqq 0\Rightarrow f(\,a,\,a)\geqq 0$$,$ vì thế nên có cách viết rất hay như sau$:$ $f(\,a,\,b)= f(\,a,\,a)+ k\,Q$$,$ $Q\geqq 0$ và $k= constant$ $($đặt như vậy để ta có thể thay đổi dấu của$:$ $f(\,a,\,b\,)- f(\,a,\,a\,)= (\,a- b\,)Q_{\,2}$ tùy ý$.$

$\lceil$ https://diendantoanh...e-1#entry710352 $\rfloor$

Ở bài của em$:$

Bài của em không thể phân tích được$:$ $\sum\,S_{\,a}(\,b- c\,)^{\,2}$$,$ anh xin mạn phép làm tiếp$:$

$$a= b\Rightarrow M= 3(\,a+ b\,)\left ( c+ \frac{a}{2}+ \frac{b}{2} \right )^{\,2}$$

$$\Rightarrow Sum- M= -\,\frac{3}{4}(\,a- b\,)^{\,2}(\,a+ b\,)$$

$Sum$ có nhân tử $a+ b$ $($do trên$)$$,$ điều thú vị là do đó$:$ $Sum$ có nhân tử $b+ c$$,$ $Sum$ có nhân tử $c+ a$ $($bởi đối xứng$)$$.$

$$Sum= 3(\,a+ b\,)(\,b+ c\,)(\,c+ a\,)$$

Những cách phân tích S*O*S khác$:$

$\lceil$ https://nguyenhuyena...ch-binh-phuong/ $\rfloor$

$\lceil$ https://nguyenhuyena...t-nam-tst-1996/ $\rfloor$

Tuy nhiên$,$ sau đây mới là phương pháp S*O*S ngắn nhất $2$ bình phương $($S*O*S dao lam$)$$:$

$$\begin{equation}\begin{split} (\,a+ b+ c\,)^{\,3}- a^{\,3}- b^{\,3}- c^{\,3} & = \\ = & 6\,b(\,b+ c\,)^{\,2}+ 3(\,a- b\,)(\,b+ c\,)(\,a+ 2\,b+ c\,) & = \\ = & 6\,a(\,c+ a\,)^{\,2}- 3(\,a- b\,)(\,c+ a\,)(\,b+ c+ 2\,a\,)\end{split}\end{equation}$$

$\lceil$ https://diendantoanh...t0/#entry721178 $\rfloor$

$$(\,a+ b+ c\,)^{\,3}- a^{\,3}- b^{\,3}- c^{\,3}= \frac{6\,a(\,b+ c\,)(\,a+ 2\,b+ c\,)(\,c+ a\,)^{\,2}+ 6\,b(\,c+ a\,)(\,b+ c+ 2\,a\,)(\,b+ c\,)^{\,2}}{(\,b+ c\,)(\,a+ 2\,b+ c\,)+ (\,c+ a\,)(\,b+ c+ 2\,a\,)}$$

 

 






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh