1.(Định lí so sánh)Cho 2 chuỗi với từ dương $\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_k, \sum\limits_{k=1}^{\infty }b_k$.
Nếu bắt đầu từ một lúc nào đó trở đi (chẳng hạn $k>N$) ta luôn có $a_k \le b_k$ hoặc $\dfrac{a_{k+1}}{a_k} \le \dfrac{b_{k+1}}{b_k}$ thì
i)Nếu $\sum\limits_{k=1}^{\infty }b_k$ hội tụ thì $\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_k$ cũng hội tụ.
ii)Nếu $\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_k$ phân kì thì $\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_k$ cũng phân kì.
2.(Định lí so sánh với tích phân)Cho chuỗi với từ dương $\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_k$ với $a_k=f(k)$.Thay $k$ bằng biến liên tục $x$.Nếu bắt đầu từ một lúc nào đó trở đi (chẳng hạn $x \ge N$) ta có $f(x)$ là hàm dương,liên tục và đơn điệu giảm .Khi đó, nếu $\int\limits_{N}^{\infty } f(x)dx$ hội tụ (phân kì) thì $\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_k$ cũng hội tụ (phân kì).
3.(Hệ quả dấu hiệu Cauchy và D'Alembert)Cho chuỗi với từ dương $\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_k$
và giả sử $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \sqrt[k]{{a_k }} = r$ (Giả thiết Cauchy)
hoặc $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = r$ (Giả thiết D'Alembert ).
Khi đó
i)Nếu $r<1$ thì chuỗi hội tụ
ii)Nếu $r>1$ thì chuỗi phân kì
iii)Nếu$r=1$ thì chưa kết luận được gì nhưng nếu $\sqrt[k]{{a_k }} \rightarrow 1$ hoặc $\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\rightarrow 1$ từ bên phải điểm 1 thì chuỗi phân kì.
4.(Định lí Leibniz).Nếu các từ của chuỗi đan có giá trị tuyệt đối giảm dần về 0 tức là $|a_k|>|a_{k+1}|, \forall k $ và $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }{a_k} =0$ thì chuỗi hội tụ.
5.(Tiêu chuẩn Cauchy).Với $\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_k$ là chuỗi tùy ý thì điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ là
với mọi $\varepsilon>0$ cho trước ,tồn tại $N$ sao cho với mọi $n>N$ và với mọi $p$ nguyên dương tùy ý thì
$\left| {\sum\limits_{k = n + 1}^{n + p} {a_k } } \right| = |a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{n + p} | < \varepsilon $
6.(Dấu hiệu Cauchy và D'Alembert mở rộng)Cho chuỗi với từ dương $\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_k$
i)Nếu $\overline {\lim } \sqrt[k]{{a_k }} < 1$ thì chuỗi hội tụ, nếu $\underline {\lim } \sqrt[k]{{a_k }}>1$ thì chuỗi phân kì.
ii)Nếu $\overline {\lim } \dfrac{a_{k+1}}{a_k} < 1$ thì chuỗi hội tụ,nếu $\underline {\lim } \dfrac{a_{k+1}}{a_k} < 1$ thì chuỗi phân kì.
7.(Hệ quả dấu hiệu Raabe) Cho chuỗi với từ dương $\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_k$ và
$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } k\left( {1 - \dfrac{{a_{k + 1} }}{{a_k }}} \right) = r$
Khi đó
i)Nếu $r<1$ thì chuỗi phân kì
ii)Nếu $r>1$ thì chuỗi hội tụ
iii)Nếu$r=1$ thì chưa kết luận được gì nhưng nếu $k\left( {1 - \dfrac{{a_{k + 1} }}{{a_k }}} \right) \rightarrow 1$ từ bên trái điểm 1 thì chuỗi phân kì.
8.(Định lí Abel).Giả sử ${a_n}$ là dãy đơn điệu và bị chặn $|a_k|\le K,\forall n$
còn $\sum\limits_{k=1}^{\infty }b_k$ là chuỗi hội tụ.Khí đó
$\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_kb_k$ cũng là chuỗi hội tụ.
9.(Định lí Dirichlet)Giả sử ${a_n}$ là dãy đơn điệu giảm và dần về 0 tức là $a_k \ge a_{k+1}$ và
$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }{a_k} =0$
còn ${b_k}$ là dãy có tập các tổng riêng bị chặn hay $|b_1+b_2+...+b_n| \le M,\forall n$ .Khi đó
$\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_kb_k$ cũng là chuỗi hội tụ.
10.(Định lí Dirichlet).Nếu chuỗi $\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_k$ hội tụ tuyệt đối tổng $s$thì bằng cách giữ nguyên tập các từ của nó và thay đổi thứ tự các từ ấy ta cũng thu được chuỗi hội tụ tuyệt đối tổng $s$.Đặc biệt với chuỗi từ dương ta có thể thay đổi tùy ý thứ tự các từ mà không sợ ảnh hưởng đến sự hội tụ hay phân kì của nó và trong trường hợp chuỗi hội tụ thì không làm thay đổi nó.
11.(Định lí Riemann) Ta có thể sắp xếp thứ tự các từ của một chuỗi bán hội tụ thành một chuỗi khác hoặc hội tụ hoặc phân kì,và trong trường hợp hội tụ thì có tổng là số $A$ tùy ý cho trước
p/s :Sr,mình đang ôn thi nên gõ lại lần nữa lên diễn đàn cho nhớ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 21-12-2009 - 22:59
