Kì thi chọn Học sinh giỏi tỉnh môn Toán THPT tỉnh Phú Thọ
#1
Đã gửi 24-12-2009 - 18:46
$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x-1}=2x+\sqrt{x^2+2x-3}$
Câu 2: Giải hệ phương trình:
$ \left\{ \begin{matrix} x^2+y^2-2x-y=0 \\ 2y=3x^2-2x \end{matrix} \right.$
Câu 3: Cho hai đường tròn $(O_1,R_1)$ và $(O_2,R_2)$ trong đó $R_1<R_2$ và tiếp xúc ngoài tại $M$.
Điểm $A$ di động trên đường tròn $(O_1,R_1)$, điểm $B$ di động trên đường tròn $(O_2,R_2)$ sao cho $MA$ vuông góc với $MB$.
1) Chứng minh đường thẳng $AB$ luôn đi qua điểm cố định $N.$
2) Chứng minh trung điểm $I$ của đoạn $AB$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định $C$
3) Đường thẳng vuông góc với $O_1O_2$ tại $M$ cắt đường tròn $C$ tại $E,F$.
Chứng minh $NE, NF$ là các tiếp tuyến của $C$
Câu 4: Cho dãy số $(U_n)$:$ \left\{ \begin{matrix} U_1=5 \\ U_{n+1}=\dfrac{5U_n+4}{U_n+2} \end{matrix} ,n\in N* \right.$
1) Chứng minh rằng $U_n>4 , \foral n\in N*$
2) Tìm số hạng tổng quát của $U_n$
Câu 5: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=9$.
Chứng minh rằng: $\dfrac{x^3+y^3}{xy+9}+\dfrac{y^3+z^3}{yz+9}+\dfrac{z^3+x^3}{zx+9} \geq 9 $
Câu 6: Tính trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n$ có $2010$ chữ số mà các chữ số đều thuộc tập ${1,2,3,4,5,6,7,8}$ đồng thời n chia hết cho $99999$
#2
Đã gửi 24-12-2009 - 19:31
Có ai thử sức với Hệ phương trình chưa?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuylaoKame: 27-12-2009 - 19:44
#3
Đã gửi 24-12-2009 - 22:46
$\dfrac{x^3+y^3}{xy+9}+\dfrac{y^3+z^3}{yz+9}+\dfrac{z^3+x^3}{zx+9} \geq 4*( \dfrac{x^3}{xy+xz+18} + \dfrac{y^3}{xy+yz+18} + \dfrac{z^3}{zy+xz+18}\geq 4* \dfrac{(x+y+z)^3}{3(2(xy+yz+zx)+54)}$
$xy+yz+zx \leq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}= 27$
-->đpcm
To quylao:cậu nên ghi rõ là cho lớp mấy!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 24-12-2009 - 22:56
#4
Đã gửi 24-12-2009 - 23:34
Trăng cũng lẻ
Mặt trời cũng lẻ
Biển vẫn cậy mình dài rộng thế
Vắng cánh buồm một chút đã cô đơn
Gió không phải là roi mà vách đá phải mòn
Em không phải là chiều mà nhuộm anh đến tím
Sóng chẳng đi đến đâu nếu không đưa em đến
Vì sóng đã làm anh
Nghiêng ngả
Vì em ....
ps: A better day
#5
Đã gửi 25-12-2009 - 15:24
Bài BDT có khá nhiều cách giải, Schwarz cũng là một cách hay, ngoài ra có thể dùng Schur hoặc AM-GM!
Dùng AM-GM như sau:
$<=>\sum \dfrac{4(x^3+y^3)}{4xy+36} \ge \sum \dfrac{(x+y)^3}{(x+y)^2+36}=\sum x+y-\sum \dfrac{36(x+y)}{(x+y)^2+36}=18-\sum \dfrac{36(x+y)}{(x+y)^2+36} \ge 18-3.3=9$
Hoặc Schur bậc 3 $a^3+b^3+c^3 \geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$ sau đó cho một biến bằng $3$ rồi đánh giá tiếp là ổn!
Còn mấy bài khác, mọi người thử sức!!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuylaoKame: 25-12-2009 - 15:42
#6
Đã gửi 25-12-2009 - 15:51
Câu 1: $ x=1;2 $
Câu 1: $ (x,y)=(0,0);(2,1);(\dfrac{1}{2},\dfrac{-1}{2})$
Câu 4: $ U_n=\dfrac{4.6^n+1}{6^n-1} $
Câu 6: $ TBC=\dfrac{10^{2010}-1}{2} $
File gửi kèm
Giang hồ đẫm máu anh không sợ
Chỉ sợ đường về vắng bóng em
#7
Đã gửi 25-12-2009 - 16:27
Bài này đặt ẩn phụ: $\sqrt{x + 3} = a , \sqrt{x - 1} = b$Câu 1: Giải phương trình:
$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x-1}=2x+\sqrt{x^2+2x-3}$
[
"God made the integers, all else is the work of men"
#8
Đã gửi 29-12-2009 - 16:51
Chỉ dừng lại ở Bài 1 và Bài BDT thôi sao mọi người. Dân 11 vượt cấp, 12 các tỉnh đâu hết rồi nhỉBài này đặt ẩn phụ: $\sqrt{x + 3} = a , \sqrt{x - 1} = b$
Cả các men của diendantoanhoc nữa chứ???
#9
Đã gửi 30-12-2009 - 17:02
Câu 6:
Vì $a_1a_2...a_{2010} \vdots 99999$ nên $(999...99-a_1a_2...a_{2010}) \vdots 99999$, cũng là 1 số có dạng trên.
Vì vậy TBC phải là $999...99=10^{2010} -1$ chứ nhỉ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi apollo_1994: 30-12-2009 - 17:05
#10
Đã gửi 30-12-2009 - 18:25
Hỏi thế cũng hỏi. Đề dễ thế ai giải làm gì cho mệt.Chỉ dừng lại ở Bài 1 và Bài BDT thôi sao mọi người. Dân 11 vượt cấp, 12 các tỉnh đâu hết rồi nhỉ
Cả các men của diendantoanhoc nữa chứ???
#11
Đã gửi 30-12-2009 - 23:06
Hỏi thế cũng hỏi. Đề dễ thế ai giải làm gì cho mệt.
Dễ thì bạn giải ra cho mọi người xem cái
#12
Đã gửi 01-01-2010 - 15:23
Thay mặt phongthan, xin phép đưa ra lời giải để mọi người xem luôn:
Bài 1: Như bạn Pirates, đặt ẩn đưa về $(2x-a)(b-1)=0$
Bài 2: Phép thế xem ra không hiệu quả, có thể đặt $x=ky$hoặc giải như sau:
Hệ tương đương:
$ \left\{ \begin{matrix} x^2+y^2=2x+y \\ 2y+2x=3x^2 \end{matrix} \right.$ rồi nhân vế với vế, đưa về phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc 3
Sau đó xét $y=0 \Rightarrow x=0$
nếu $y \neq 0 $thì chia 2 vế phương trình cho $y^3$, đặt ẩn phụ mới $\dfrac{x}{y}$, đến đây không còn gì phải nói!
Bài 3:
1, Sử dụng định lí Te-let, $N$ là tâm vị tự ngoài 2 đường tròn
2, $I$ thuộc đường tròn đường kính $O_1O_2$
3, Có khá nhiều cách giải, đơn giản là tính toán dùng tam giác đồng dạng hoặc $(O_1O_2MN)$ là Hàng điểm điều hòa, hoặc sử dụng Phương tích...đều được!!
Có thể làm mạnh hơn một chút kết quả này, đó là $NE, NF$ là tiếp tuyến với cả 3 đường tròn, chứng minh cũng không có gì phức tạp, mọi người xem thử!
Bài 4
Cộng thêm 1 vào 2 vế rồi xét dãy nghịch đảo là xong, bài toán thuộc dạng cơ bản
Bài 5: Đã có lời giải ở trên
Bài 6: Hướng giải như Apollo_1994, nhưng đáp số đúng phải là $ \dfrac{10^{2010}-1}{2} $, lí luận như sau: Với mỗi số a cần tìm luôn có một số b nữa coi là "cái bóng" của a cũng thỏa mãn bài toán, mà $a+b=999...99$ nên a luôn khác b, do đó số các số lập được luôn là số chẵn.
Gọi $x_1, x_2,... x_{2k}$ là các số lập được, khi đó $\dfrac{x_1, x_2,... x_{2k}}{2k}= \dfrac{999..99k}{2k}$ xong!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuylaoKame: 02-01-2010 - 19:31
#13
Đã gửi 05-01-2010 - 00:34
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ
Năm học: 2009-2010
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1: Giải phương trình:
$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x-1}=2x+\sqrt{x^2+2x-3}$
Câu 2: Giải hệ phương trình:
$ \left\{ \begin{matrix} x^2+y^2-2x-y=0 \\ 2y=3x^2-2x \end{matrix} \right.$
Câu 3: Cho hai đường tròn $(O_1,R_1)$ và $(O_2,R_2)$ trong đó $R_1<R_2$ và tiếp xúc ngoài tại M.
Điểm A di động trên đường tròn $(O_1,R_1)$, điểm B di động trên đường tròn $(O_2,R_2)$ sao cho MA vuông góc với MB.
1) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định N.
2) Chứng minh trung điểm I của đoạn AB luôn thuộc 1 đường tròn cố định ©.
3) Đường thẳng vuông góc với $O_1O_2$ tại M cắt đường tròn © tại E,F.
Chứng minh NE, NF là các tiếp tuyến của ©.
Câu 4: Cho dãy số $(U_n)$:$ \left\{ \begin{matrix} U_1=5 \\ U_{n+1}=\dfrac{5U_n+4}{U_n+2} \end{matrix} ,n\in N* \right.$
1) Chứng minh rằng $U_n>4 , \foral n\in N*$
2) Tìm số hạng tổng quát của $U_n$
Câu 5: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=9.
Chứng minh rằng: $\dfrac{x^3+y^3}{xy+9}+\dfrac{y^3+z^3}{yz+9}+\dfrac{z^3+x^3}{zx+9} \geq 9 $
Câu 6: Tính trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn n có 2010 chữ số mà các chữ số đều thuộc tập {1,2,3,4,5,6,7,8} đồng thời n chia hết cho 99999.
#14
Đã gửi 05-01-2010 - 00:37
File gửi kèm
#15
Đã gửi 05-01-2010 - 09:24
#16
Đã gửi 05-01-2010 - 10:44
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh