Chủ đề này có 3 trả lời

[cvp]

Đề chọn đội tuyển Vĩnh Phúc

Bài 1: Cho tam giác đều ABC. Xét lục giác $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ có các cạnh bằng nhau với $A_1,A_2$ thuộc $BC$,$B_1,B_2$ thuộc $CA$,$C_1,C_2$ thuộc $AB$.
Chứng minh rằng các góc trong của đa giác đôi một không cùng kề một cạnh của đa giác thì bằng nhau.

Bài 2: Cho các số nguyên dương $a\ge b\ge c$ và $d$ thỏa mãn các điều kiện sau:
$i)$ $abc=d^3$
$ii)$ Số $a+b+c-d$ là một ước số nguyên tố của số $ab+bc+ca-d^2$
Chứng minh rằng $b=d$

Bài 3: Cho trước số nguyên dương $n\ge 3$.Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho với mỗi $k$ số nguyên dương tùy ý lấy từ $n$ số tự nhiên luôn tồn tại 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.


p/s: đề vừa thi mình ko nhớ chính xác từng câu chữ của đề gốc!(sẽ edit lại sau)

[tuan101293]

Bài 2: Cho các số nguyên dương $a\ge b\ge c$ và $d$ thỏa mãn các điều kiện sau:
$i)$ $abc=d^3$
$ii)$ Số $a+b+c-d$ là một ước số nguyên tố của số $ab+bc+ca-d^2$
Chứng minh rằng $b=d$

MÌnh làm bài 2 nhé:
từ điều kiện đầu suy ra $c\le d\le a$ và $d^2=\dfrac{abc}{d}$
phản chứng giả sủ b khác d
ta có
$-(ab+bc+ca-d^2)+b(a+b+c-d) \vdots (a+b+c-d) $
$b^2-ca+d^2-bd\vdots (a+b+c-d)$
$b(b-d)-ca+\dfrac{abc}{d}\vdots (a+b+c-d)$
suy ra $(b-d)(\dfrac{ac}{d}+b)\vdots (a+b+c-d)$
mà (a+b+c-d) là 1 số nguyên tố và $0<|b-d|<a+b+c-d$
suy ra $\dfrac{ac}{d}+b\vdots (a+b+c-d)$
suy ra $ac+bd\ge (a+b+c-d)d$
suy ra $(d-a)(d-c)\ge 0$
suy ra hoặc a=d hoặc a=c
TH1:a=d suy ra $bc=a^2$ suy ra a=b=c=d suy ra vô lý
TH2:c=d suy ra $ab=c^2$ suy ra a=b=c=d suy ra vô lý
Vậy điều giả sử sai suy ra b=d
.............
Mình làm được 1 nửa bài 1,bài 3 thì mình chịu.Bạn nào giải được thì post lên nhé
********

[cvp]

OK!
Bài 1:(tớ không biết vẽ hình đâu )
Bên trong tam giác đều ABC dựng tam giác đều $A_1A_2P$
Khi đó $A_1P=C_1C_2$ và $A_1P$ song song với $AB$
Do đó $A_1PC_1C_2$ là hình bình hành $\Rightarrow C_1P=A_2C_1$
Tương tự, ta có: $PA_2B_1B_2$ là hình bình hành $\Rightarrow B_2P=A_2B_1$
Suy ra: $\delta C_1PB_2$ là tam giác đều $\Rightarrow \angle PC_1B_2=\angle PB_2C_1=60^o$
Vậy: $\angle C_2C_1B_2=\angle C_2A_1A_2$ và $\angle C_1B_2B_1=\angle A_1A_2B_1$
Tương tự với các cặp góc còn lại ta có Q.E.D
Bài 3: Gợi ý: kết quả: $k_{min}=[\dfrac{n}{2}]+[\dfrac{n}{3}]-[\dfrac{n}{6}]+1$

p/s: Đề này 3 bài 180 phút!

[phong than]

OK!
Bài 1:(tớ không biết vẽ hình đâu )
Bên trong tam giác đều ABC dựng tam giác đều $A_1A_2P$
Khi đó $A_1P=C_1C_2$ và $A_1P$ song song với $AB$
Do đó $A_1PC_1C_2$ là hình bình hành $\Rightarrow C_1P=A_2C_1$
Tương tự, ta có: $PA_2B_1B_2$ là hình bình hành $\Rightarrow B_2P=A_2B_1$
Suy ra: $\delta C_1PB_2$ là tam giác đều $\Rightarrow \angle PC_1B_2=\angle PB_2C_1=60^o$
Vậy: $\angle C_2C_1B_2=\angle C_2A_1A_2$ và $\angle C_1B_2B_1=\angle A_1A_2B_1$
Tương tự với các cặp góc còn lại ta có Q.E.D
Bài 3: Gợi ý: kết quả: $k_{min}=[\dfrac{n}{2}]+[\dfrac{n}{3}]-[\dfrac{n}{6}]+1$

p/s: Đề này 3 bài 180 phút!

Bài 1 hình như giống bài 1 IMO 2005.
Bài 3 n số nguyên dương đầu tiên. Cũng gần giống bài IMO năm 9 mấy do trung quốc đề nghị.
Nhưng khó hơn khi thay n bởi 250 và với 5 số nguyên tố cùng nhau đôi một.