Chủ đề này có 2 trả lời

[shayne ward]

Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi P là
một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP. Đường tròn tâm
(O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm
thứ hai là Q. Chứng minh rằng $AQ \perp OI$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shayne ward: 10-01-2010 - 17:00

[Silverphere]

Gọi giảo điểm của DQ với BP và BC lần lượt là H và M; của EQ với CP và CB lần lượt là K và N.
Ta có $\widehat{PQD} = \widehat{PGF}$ và $\widehat{PQE} = \widehat{PFG}$
=> $\widehat{HPK}+ \widehat{HQK} = 180$ => HPKQ nội tiếp => HK //BC. Gọi giao điểm của PQ với HK và MN lần lượt là L và I , ta có: $\dfrac{IM}{IN} = \dfrac{LH}{LK} = \dfrac{IB}{IC}$ (1). Gọi giảo điểm của AQ và BC là I', áp dụng định lí Menelauys cho tam giác ABI' cát tuyến (DMQ) và tam giác ACI' cát tuyến (ENQ ), ta có: $\dfrac{I'M}{I'N} = \dfrac{I'B}{I'C}$mà (1), ta dễ dàng chứng minh được $I \equiv I'$ => A,P,Q thẳng hàng => đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 10-01-2010 - 16:37

[*LinKinPark*]

Gọi $M,N$ lần lượt là giao của đường tròn $(DPG),(EFP)$ với $AB,AC$. Suy ra $DMPG,ENPF$ nội tiếp
Suy ra $BMPC,CNPB$ cũng nội tiếp dẫn đến $BMNC$ nội tiếp. Suy ra $DMNE$ nội tiếp
$\Rightarrow AM.AD=AN.AE$. Suy ra $A$ nằm trên trục đẳng phương của $(O)$ và $(I)$
Vậy $AQ \bot OI$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 05-03-2010 - 00:26