Chủ đề này có 5 trả lời

[Nguyễn Thái Vũ]

Sắp thi VMEO rồi nên mình cho các bạn vài BDT để tự luyện.
1.CMR:
$sincosa<cossina$
2.CMR:
$ (cotgx)^{cos2x}>=1/(sin2x) $ với mọi x thuộc (0,pi/2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Thai Vu: 31-12-2009 - 08:18

[Pirates]

Sắp thi VMEO rồi nên mình cho các bạn vài BDT để tự luyện.
2.CMR:
$ (cotgx)^{cos2x}>=1/(sin2x) $ với mọi x thuộc (0,pi/2)

Bài này giải rồi, tranh thủ post vậy:

$(cot gx)^{cos 2x} \geq \dfrac{1}{sin 2x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{(tg x)^{cos 2x}} \geq \dfrac{1}{sin 2x}$

$\Leftrightarrow (tg x)^{cos 2x}.\dfrac{1}{sin 2x} \leq 1$

$\Leftrightarrow (\dfrac{sin x}{cos x})^{cos 2x} . \dfrac{1}{2 sin x cos x} \leq 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{(sin x)^{cos 2x - 1}}{(cos x)^{cos 2x + 1}} \leq 2$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{(cos x)^{2 cos^{2} x} (sin x)^{2 sin^{2} x}} \leq 2$

$\Leftrightarrow (\dfrac{1}{cos^{2} x})^{cos^{2} x} (\dfrac{1}{sin^{2} x})^{sin^{2} x} \leq 2$

Tới đây áp dụng BĐT Côsi mở rộng với:
$x_1 = \dfrac{1}{cos^{2} x} ; x_2 = \dfrac{1}{sin^{2} x} ; a_1 = cos^{2} x ; a_2 = sin^{2} x$

Ta có:

$(\dfrac{1}{cos^{2} x})^{cos^{2} x} (\dfrac{1}{sin^{2} x})^{sin^{2} x} \leq \dfrac{1}{cos^{2} x} cos^{2} x + \dfrac{1}{sin^{2} x} sin^{2} x = 2$

Tới đây $\Rightarrow$ đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 31-12-2009 - 21:35

[Nguyễn Thái Vũ]

Có bạn nào giải bài 1 không hay để mình giải

[Pirates]

Có bạn nào giải bài 1 không hay để mình giải

Để anh giải vậy:

Ta có: $sincosa = -cos(\dfrac{\pi}{2} + cosa)$

$\Rightarrow cossina - sincosa = cossina + cos(\dfrac{\pi}{2} + cosa)$

$= 2cos\dfrac{\dfrac{\pi}{2} + cosa + sina}{2} cos \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + cosa - sina}{2}$

Mà: $|cosa + sina| = \sqrt{cos^{2}a + sin^{2}a + 2sinacosa} = \sqrt{1 + sin2a} \leq \sqrt{2}$

Dấu = xảy ra khi $sin2a = 1$

Tương tự, ta có: $|cosa - sina| \leq \sqrt{2}$

Dấu = xảy ra khi $sin2a = -1$

Ta có:

$\dfrac{\pi}{2} > \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + cosa + sina}{2} > 0$ và $\dfrac{\pi}{2} > \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + cosa - sina}{2} > 0$

$\Rightarrow cossina - sincosa > 0$

[Nguyễn Thái Vũ]

đúng là em còn ngu nên mới thấy mấy bài này hay.
Cám ơn chị nhiều , từ sau em sẽ post những bài đáng post vào box olympiad

[dark templar]

:clap

Đây là spam đấy e ạ.lớp 9 mà đã học cái này rồi sao?
lần sau n~ bài như thế này e nên post vào box lg giác của c3 vì có lẽ mới học nên e thấy khó hay ..............n nếu lên c3 e sẽ thấy n~ bài này k khó lắm
Lần sau post bài,chị mog e sẽ k có n~ đánh giá như là đág làm ...........tại trong toán học,ngta k định nghĩa thế nào là bài đág làm,rất nhiều bài khó có thể xuất phát từ n~ bài k đág làm
Chị k phải vì thù oán hay ganh ghét e,chỉ mog e chín chắn lên thôi!

Haha.2 pạn đấu khẩu hay lm.tôj xjn được ns thế này:đây là djễn đàn toán học,k phảj cáj chợ.

Cảnh cáo 3 thành viên:Nguyễn Thái Vũ;Janiennguyen;lehoanghiep vì đã có hành vi spam trong topic và sử dụng ngôn ngữ chat trong bài viết..Các bài viết trên sẽ bị xóa.Mong các bạn ý thức hơn khi post bài.Thân.