Bất đẳng thức có điều kiện và chứa căn
#1
Đã gửi 01-01-2010 - 11:38
$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $
Các bạn làm thử nhé.
Nhân đây, các bạn kiểm tra xem bất đẳng thức sau có đúng không (cũng với điều kiện trên):
$ \dfrac{1}{8-(a+b)} + \dfrac{1}{8-(b+c)} + \dfrac{1}{8-(c+a)} \le \dfrac{1}{2} $
#2
Đã gửi 01-01-2010 - 11:47
Đề bài này vẫn đúng ạ lời giải http://forum.mathsco...ead.php?t=10434Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng
$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $
Các bạn làm thử nhé.
Nhân đây, các bạn kiểm tra xem bất đẳng thức sau có đúng không (cũng với điều kiện trên):
$ \dfrac{1}{8-(a+b)} + \dfrac{1}{8-(b+c)} + \dfrac{1}{8-(c+a)} \le \dfrac{1}{2} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 01-01-2010 - 12:03
#3
Đã gửi 01-01-2010 - 12:07
Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng
$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $
Các bạn làm thử nhé.
Sử dụng Cauchy Schwarts và AM-GM, chúng ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên với điều kiện mạnh hơn là $ a^2+b^2+c^2 \le 3$
Lời giải em sẽ post lên sau ạ ^^!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguoivn: 01-01-2010 - 12:08
#4
Đã gửi 01-01-2010 - 12:47
trước hết là các mẫu đều >0 vì $ \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{ \dfrac{ a^{2}+ b^{2} }{2} }< \sqrt{ \dfrac{3}{2} } <4$Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng
$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $
Các bạn làm thử nhé.
Nhân đây, các bạn kiểm tra xem bất đẳng thức sau có đúng không (cũng với điều kiện trên):
$ \dfrac{1}{8-(a+b)} + \dfrac{1}{8-(b+c)} + \dfrac{1}{8-(c+a)} \le \dfrac{1}{2} $
Ta sẽ đánh giá đại diện(U.C.T): $ \dfrac{2}{4- \sqrt{ab} } \leq \dfrac{1}{4- a }+ \dfrac{1}{4-b}$ (1)
Thật vậy đặt $ \sqrt{ab}=P, \sqrt{a} + \sqrt{b}=P$ ta có BDT tương đương với $ 4P(P+4) \leq S^{2}(P+4)$ mà $ S^{2} \geq 4P$ nên (1) đúng
Lại có $ \dfrac{1}{4-a} \leq \dfrac{ a^{2}+5 }{18} \Leftrightarrow (a-2) (a-1)^{2} \leq 0$ đúng do $a < \sqrt{3}<2 $
Từ đó ta có đpcm
Còn bài 2 em chưa kt nhưng chắc là dùng ABC để kiểm tra
Phải có danh gì với núi sông
#5
Đã gửi 01-01-2010 - 17:02
$ \dfrac{4}{8-(a+b)} \le \dfrac{1}{4-a} + \dfrac{1}{4-b} $
#6
Đã gửi 01-01-2010 - 17:16
Đúng r�#8220;i, chứng minh $\dfrac{4}{8-(a+b)} \leq \dfrac{1}{4-a}+ \dfrac{1}{4-b} $ còn dễ hơn cm: $\dfrac{2}{4- \sqrt{ab} } \leq \dfrac{1}{4-a} +\dfrac{1}{4-b} $Làm theo cách này thì bài 2 còn đơn giản hơn:
$ \dfrac{4}{8-(a+b)} \le \dfrac{1}{4-a} + \dfrac{1}{4-b} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 01-01-2010 - 17:17
Phải có danh gì với núi sông
#7
Đã gửi 01-01-2010 - 18:51
#8
Đã gửi 01-01-2010 - 23:03
Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng
$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $
Các bạn làm thử nhé.
Nhân đây, các bạn kiểm tra xem bất đẳng thức sau có đúng không (cũng với điều kiện trên):
$ \dfrac{1}{8-(a+b)} + \dfrac{1}{8-(b+c)} + \dfrac{1}{8-(c+a)} \le \dfrac{1}{2} $
Bất đẳng thức mạnh hơn nữa sau vẫn đúng với cùng điều kiện:
$ \dfrac{1}{8-\sqrt{2(a^2+b^2)}} + \dfrac{1}{8-\sqrt{2(b^2+c^2)}} + \dfrac{1}{8-\sqrt{2(c^2+a^2)}} \le \dfrac{1}{2} $
Và lời giải cũng khá đơn giản dựa vào đánh giá sau:
$\dfrac{1}{8-\sqrt{2(b^2+c^2)}}\le\dfrac1{6}-\dfrac1{72}(a^2-1)$
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...
Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh
#9
Đã gửi 02-01-2010 - 00:18
Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng
$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $
Bây giờ mới để ý, đây chính là bài Mondova TST 2005
Nguyên bản: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$, chứng minh
$ \dfrac{1}{4-ab} + \dfrac{1}{4-bc} + \dfrac{1}{4-ca} \le 1$
Ngoài một số mở rộng trên, chúng ta có thể làm mạnh bài toán này theo các hướng sau:
1/ "Làm yếu" điều kiện: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$, chứng minh
$ \dfrac{1}{4-ab} + \dfrac{1}{4-bc} + \dfrac{1}{4-ca} \le 1$
2/ "Làm yếu" mẫu số: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$, chứng minh
$ \dfrac{1}{2-ab} + \dfrac{1}{2-bc} + \dfrac{1}{2-ca} \le 3$
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...
Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh
#10
Đã gửi 05-01-2010 - 10:18
Mot cach danh gia khac kha ngan gon:
$ \sqrt{ab}< \sqrt{ \dfrac{3}{2} } \Rightarrow (3-2 \sqrt{ab})( \sqrt{ab}-1)^{2} \geq 0 $
$\Rightarrow \dfrac{1}{4- \sqrt{ab} } \leq \dfrac{2ab+ \sqrt{ab}+12 }{45} $
Va chu rang $ \sum ab \leq 3, \sum \sqrt{ab} \leq 3 \Rightarrow Q.E.D$
Phải có danh gì với núi sông
#11
Đã gửi 07-01-2010 - 10:02
Chà cách này đơm giản mà hiệu quả lắm nha!Có topic của loại này không nhỉ?Nó Ở đâu vậy?Topic bi bo quen hoi lau!
Mot cach danh gia khac kha ngan gon:
$ \sqrt{ab}< \sqrt{ \dfrac{3}{2} } \Rightarrow (3-2 \sqrt{ab})( \sqrt{ab}-1)^{2} \geq 0 $
$\Rightarrow \dfrac{1}{4- \sqrt{ab} } \leq \dfrac{2ab+ \sqrt{ab}+12 }{45} $
Va chu rang $ \sum ab \leq 3, \sum \sqrt{ab} \leq 3 \Rightarrow Q.E.D$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh