Chủ đề này có 10 trả lời

[namdung]

Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng

$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $

Các bạn làm thử nhé.

Nhân đây, các bạn kiểm tra xem bất đẳng thức sau có đúng không (cũng với điều kiện trên):

$ \dfrac{1}{8-(a+b)} + \dfrac{1}{8-(b+c)} + \dfrac{1}{8-(c+a)} \le \dfrac{1}{2} $

[Janienguyen]

Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng

$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $

Các bạn làm thử nhé.

Nhân đây, các bạn kiểm tra xem bất đẳng thức sau có đúng không (cũng với điều kiện trên):

$ \dfrac{1}{8-(a+b)} + \dfrac{1}{8-(b+c)} + \dfrac{1}{8-(c+a)} \le \dfrac{1}{2} $

Đề bài này vẫn đúng ạ lời giải http://forum.mathsco...ead.php?t=10434

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 01-01-2010 - 12:03

[nguoivn]

Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng

$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $

Các bạn làm thử nhé.

Sử dụng Cauchy Schwarts và AM-GM, chúng ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên với điều kiện mạnh hơn là $ a^2+b^2+c^2 \le 3$
Lời giải em sẽ post lên sau ạ ^^!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguoivn: 01-01-2010 - 12:08

[abstract]

Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng

$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $

Các bạn làm thử nhé.

Nhân đây, các bạn kiểm tra xem bất đẳng thức sau có đúng không (cũng với điều kiện trên):

$ \dfrac{1}{8-(a+b)} + \dfrac{1}{8-(b+c)} + \dfrac{1}{8-(c+a)} \le \dfrac{1}{2} $

trước hết là các mẫu đều >0 vì $ \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{ \dfrac{ a^{2}+ b^{2} }{2} }< \sqrt{ \dfrac{3}{2} } <4$
Ta sẽ đánh giá đại diện(U.C.T): $ \dfrac{2}{4- \sqrt{ab} } \leq \dfrac{1}{4- a }+ \dfrac{1}{4-b}$ (1)
Thật vậy đặt $ \sqrt{ab}=P, \sqrt{a} + \sqrt{b}=P$ ta có BDT tương đương với $ 4P(P+4) \leq S^{2}(P+4)$ mà $ S^{2} \geq 4P$ nên (1) đúng
Lại có $ \dfrac{1}{4-a} \leq \dfrac{ a^{2}+5 }{18} \Leftrightarrow (a-2) (a-1)^{2} \leq 0$ đúng do $a < \sqrt{3}<2 $
Từ đó ta có đpcm

Còn bài 2 em chưa kt nhưng chắc là dùng ABC để kiểm tra

[namdung]

Làm theo cách này thì bài 2 còn đơn giản hơn:

$ \dfrac{4}{8-(a+b)} \le \dfrac{1}{4-a} + \dfrac{1}{4-b} $

[abstract]

Làm theo cách này thì bài 2 còn đơn giản hơn:

$ \dfrac{4}{8-(a+b)} \le \dfrac{1}{4-a} + \dfrac{1}{4-b} $

Đúng r�#8220;i, chứng minh $\dfrac{4}{8-(a+b)} \leq \dfrac{1}{4-a}+ \dfrac{1}{4-b} $ còn dễ hơn cm: $\dfrac{2}{4- \sqrt{ab} } \leq \dfrac{1}{4-a} +\dfrac{1}{4-b} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 01-01-2010 - 17:17

[nguoivn]

Nice proof, abstract

[dduclam]

Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng

$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $

Các bạn làm thử nhé.

Nhân đây, các bạn kiểm tra xem bất đẳng thức sau có đúng không (cũng với điều kiện trên):

$ \dfrac{1}{8-(a+b)} + \dfrac{1}{8-(b+c)} + \dfrac{1}{8-(c+a)} \le \dfrac{1}{2} $

Bất đẳng thức mạnh hơn nữa sau vẫn đúng với cùng điều kiện:
$ \dfrac{1}{8-\sqrt{2(a^2+b^2)}} + \dfrac{1}{8-\sqrt{2(b^2+c^2)}} + \dfrac{1}{8-\sqrt{2(c^2+a^2)}} \le \dfrac{1}{2} $

Và lời giải cũng khá đơn giản dựa vào đánh giá sau:
$\dfrac{1}{8-\sqrt{2(b^2+c^2)}}\le\dfrac1{6}-\dfrac1{72}(a^2-1)$

[dduclam]

Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng

$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $

Bây giờ mới để ý, đây chính là bài Mondova TST 2005
Nguyên bản: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$, chứng minh
$ \dfrac{1}{4-ab} + \dfrac{1}{4-bc} + \dfrac{1}{4-ca} \le 1$

Ngoài một số mở rộng trên, chúng ta có thể làm mạnh bài toán này theo các hướng sau:
1/ "Làm yếu" điều kiện: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$, chứng minh
$ \dfrac{1}{4-ab} + \dfrac{1}{4-bc} + \dfrac{1}{4-ca} \le 1$

2/ "Làm yếu" mẫu số: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$, chứng minh
$ \dfrac{1}{2-ab} + \dfrac{1}{2-bc} + \dfrac{1}{2-ca} \le 3$

[abstract]

Topic bi bo quen hoi lau!
Mot cach danh gia khac kha ngan gon:
$ \sqrt{ab}< \sqrt{ \dfrac{3}{2} } \Rightarrow (3-2 \sqrt{ab})( \sqrt{ab}-1)^{2} \geq 0 $
$\Rightarrow \dfrac{1}{4- \sqrt{ab} } \leq \dfrac{2ab+ \sqrt{ab}+12 }{45} $
Va chu rang $ \sum ab \leq 3, \sum \sqrt{ab} \leq 3 \Rightarrow Q.E.D$

[Messi_ndt]

Topic bi bo quen hoi lau!
Mot cach danh gia khac kha ngan gon:
$ \sqrt{ab}< \sqrt{ \dfrac{3}{2} } \Rightarrow (3-2 \sqrt{ab})( \sqrt{ab}-1)^{2} \geq 0 $
$\Rightarrow \dfrac{1}{4- \sqrt{ab} } \leq \dfrac{2ab+ \sqrt{ab}+12 }{45} $
Va chu rang $ \sum ab \leq 3, \sum \sqrt{ab} \leq 3 \Rightarrow Q.E.D$

Chà cách này đơm giản mà hiệu quả lắm nha!Có topic của loại này không nhỉ?Nó Ở đâu vậy?