Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

CRUX-323


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 *LinKinPark*

*LinKinPark*

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LHP TPHCM
  • Sở thích:Mathematic, Chinese chess

Đã gửi 01-01-2010 - 22:00

If $ xyz = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) $ where $ 0 \le x,y,z \le 1 $. Prove that:
$ x\left( {1 - z} \right) + y\left( {1 - x} \right) + z\left( {1 - y} \right) \ge \dfrac{3}{4} $

#2 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 02-01-2010 - 00:33

If $ xyz = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) $ where $ 0 \le x,y,z \le 1 $. Prove that:
$ x\left( {1 - z} \right) + y\left( {1 - x} \right) + z\left( {1 - y} \right) \ge \dfrac{3}{4} $


Xem các biến $x,y,z$ như $a,b,c$. Đặt $t^3=abc$, đánh giá bằng AM-GM như sau:
$ t^3=xyz = (1-x)(1-y)(1-z)\le\left( 1-\dfrac{a+b+c}3 \right)^3 \le(1-t)^3$ , rút ra $t\le\dfrac1{2}$ hay $abc\le\dfrac1{8}$

Từ đó mà $1+ab+bc+ca=a+b+c+2abc\le a+b+c+\dfrac1{4}$ hay $a+b+c-ab-bc-ca\le\dfrac3{4}$ (đpcm)
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#3 NightBaron

NightBaron

    Quân Sư

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11A1 THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam.

Đã gửi 26-09-2010 - 16:49

If $ xyz = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) $ where $ 0 \le x,y,z \le 1 $. Prove that:
$ x\left( {1 - z} \right) + y\left( {1 - x} \right) + z\left( {1 - y} \right) \ge \dfrac{3}{4} $


Có thể giải như sau:

Đăt $a=\dfrac{x}{1-x}; b=\dfrac{y}{1-y}; c=\dfrac{z}{1-z}\Rightarrow a,b,c>0:abc=1$

Khi đó: $x=\dfrac{a}{a+1}; y=...; z=...$

Dễ dàng viết được BDT dưới dạng tương đương sau:

$\dfrac{a}{(a+1)(c+1)}+\dfrac{b}{(b+1)(a+1)}+\dfrac{c}{(c+1)(b+1)}\ge \dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\ge 6$ ($abc=1$)

Đúng theo AG-GM!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh