Đến nội dung

Hình ảnh

CRUX-323

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
*LinKinPark*

*LinKinPark*

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
If $ xyz = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) $ where $ 0 \le x,y,z \le 1 $. Prove that:
$ x\left( {1 - z} \right) + y\left( {1 - x} \right) + z\left( {1 - y} \right) \ge \dfrac{3}{4} $

#2
dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết

If $ xyz = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) $ where $ 0 \le x,y,z \le 1 $. Prove that:
$ x\left( {1 - z} \right) + y\left( {1 - x} \right) + z\left( {1 - y} \right) \ge \dfrac{3}{4} $


Xem các biến $x,y,z$ như $a,b,c$. Đặt $t^3=abc$, đánh giá bằng AM-GM như sau:
$ t^3=xyz = (1-x)(1-y)(1-z)\le\left( 1-\dfrac{a+b+c}3 \right)^3 \le(1-t)^3$ , rút ra $t\le\dfrac1{2}$ hay $abc\le\dfrac1{8}$

Từ đó mà $1+ab+bc+ca=a+b+c+2abc\le a+b+c+\dfrac1{4}$ hay $a+b+c-ab-bc-ca\le\dfrac3{4}$ (đpcm)
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#3
NightBaron

NightBaron

    Quân Sư

  • Thành viên
  • 298 Bài viết

If $ xyz = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) $ where $ 0 \le x,y,z \le 1 $. Prove that:
$ x\left( {1 - z} \right) + y\left( {1 - x} \right) + z\left( {1 - y} \right) \ge \dfrac{3}{4} $


Có thể giải như sau:

Đăt $a=\dfrac{x}{1-x}; b=\dfrac{y}{1-y}; c=\dfrac{z}{1-z}\Rightarrow a,b,c>0:abc=1$

Khi đó: $x=\dfrac{a}{a+1}; y=...; z=...$

Dễ dàng viết được BDT dưới dạng tương đương sau:

$\dfrac{a}{(a+1)(c+1)}+\dfrac{b}{(b+1)(a+1)}+\dfrac{c}{(c+1)(b+1)}\ge \dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\ge 6$ ($abc=1$)

Đúng theo AG-GM!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh