Chủ đề này có 51 trả lời

[Mr. Big Problem]

Vài lời dong dài :
1)Mình thường pót lên những problem nhưng mỗi một problem đều mở ra một topic mới thì đúng là một rắc rối cho diễn đàn vì nó rất không đẹp về hình thức.Vì vậy mình mở ra topic này để bỏ tất cả những problem về đại số mà mình pót lên vào đây.Đến khi nào nó đầy quá thì lại mở topic mới.Do đó mình mong các bạn quan tâm đến những problem và thông cảm với cách sắp xếp lộn xộn này!
2)Lẽ ra điều này là không cần thiết nhưng đã lỡ dong dài rồi thì dong dài luôn vậy.
Đôi khi người ta quan tâm đến một problem thì cũng quan tâm đến người đưa ra nó.Vậy nên theo lẽ lịch sự mình cần nói sơ về mình một tí.Mình là "Mr. Big Problem" không phải vì mình đưa ra những "big problem" mà ngược lại những vấn đề của mình rất bình thường,chỉ có điều mình đưa ra quá nhiều vấn đề quá thành ra là một "big problem" - rắc rối - cho diễn đàn thôi.Với lại mình luôn luôn đưa ra những problem mà không bao giờ có đáp án hay điều gì làm sáng tỏ nó vì đúng với tên của mình : "I has been creating unsolved problems" mà.
Vậy mong các bạn hãy kiên nhẫn một tí và quan tâm đến những problem của mình.
Vài lời như vậy thật là dài dòng quá,các bạn lượng thứ.Thân,Mr. Big Problem.

Hôm nay mình có 2 bài toán sau :

(1) Bài toán : Hãy cho một ví dụ về vành nhân tử hóa (unique factorization domain) mà không là vành Euclid (Euclidean domain).

(2) Bài toán : Cho H là nhóm con của G và (G:H)=2.Chứng minh rằng H là ước chuẩn (normal subgroup) của G.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr. Big Problem: 03-07-2005 - 14:06

[Mr. Big Problem]

Vấn đề thứ 3 của mình không phải là một bài toán hay bài tập gì mà là một đoạn chứng minh trong sách mà mình mất nguyên một ngày mà vẫn chẳng hiểu ráo gì cả,mong các bạn giúp cho!

(3)
*Giả thiết : Cho G là nhóm abel hữu hạn có cấp n chia hết cho số p nguyên tố.
Coi như đã chứng minh được điều sau :
(3a) nếu một nhóm H bất kì có số mũ m thì tồn tại s để m^s chia hết cho cấp của H.
*Yêu cầu : suy ra điều sau
(3b) trong G tồn tại phần tử x có chu kì chia hết cho p.

(trong sách mình đọc người ta chỉ ghi vỏn vẹn một câu : "Do điều vừa chứng minh (tức (3a)) suy ra (3b)!Thật là điên cả đầu)

Chú thích thêm : m là số mũ của nhóm H nghĩa là với mọi x thuộc H,x^m=e.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr. Big Problem: 04-07-2005 - 07:56

[xuansang]

(2) Bài toán : Cho H là nhóm con của G và (G:H)=2.Chứng minh rằng H là ước chuẩn (normal subgroup) của G.

Ta có: Nếu x H xH=Hx.
Nếu x H, vì [G:H]=2 nên {H và xH} và {H và Hx} là phân hoạch của G xH=Hx
đfcm.




----------------------
ĐBX

[phuongle]

Bài 1 và 2 theo mình biết thì có nhiều trong các cuốn sách nên lời giải mình không viết lại ở đây, riêng bài 3 mình cũng giống bạn rằng không hiểu 3a và 3b liên quan thế nào với nhau, mà thực ra không cần 3a mà từ gt vẫn suy ra được 3b không khó khăn lắm theo định lý Sylow, tính đúng đắn của 3a còn phải kiểm tra một chỗ nữa là nếu nhóm có số mũ m thì nhóm là hữu hạn.
Nhân tiện chủ đề về nhóm cũng xin được hỏi các bạn một câu : Liệu tập các ma trận đơn có lập thành một nhóm con của nhóm GL® không ?

[xuansang]

Tôi xin mạn phép góp ý 'ngoài luồng' với bạn phuongle một chút!
!) Trước hết các vấn đề đưa lên ở diễn đàn để cùng nhau giải quyết! Người biết nói với người chưa biết! Nếu biết cả thì cùng nhau phân tích cái đẹp, hay!
!!)Các vấn đề đưa lên diễn đàn theo mình là không phải để đánh đố nhau! Nên cái 'không khó khăn lắm' thì không chứng minh là không được!

Với lại vấn đề của bạn hỏi: Liệu tập các ma trận đơn có lập thành một nhóm con của nhóm GL® không ? Thì câu trả lời là khẳng định với phép nhân ma trận thông thường (det(AB)=detA.detB)!


-------------------
ĐBX

[noproof]

Bài 1: Chỉ cần chọn miền nguyên là phân tích duy nhất (UFD) nhưng không là miền idean chính (PID) vì Euclidean domain (ED) suy ra PID. Chẳng hạn có thể chọn R=k[x,y] là vành đa thức 2 biến (trở lên) trên một trường, khi đó R là UFD nhưng không là PID vì iđean sinh bởi x và y: (x,y) không là iđêan chính và do vậy R không là ED.

(Ta có ED http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Rightarrow PID http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Rightarrow UFD.)

Bài 1': Tìm ví dụ một vành là PID nhưng không là Euclidean domain.

Hai bạn phuongle và xuansang cho hỏi khải niệm ma trận đơn cái, mình chỉ biết khái niệm ma trận nửa đơn (semisimple matrix) thôi .

[nemo]

Với lại vấn đề của bạn hỏi: Liệu tập các ma trận đơn có lập thành một nhóm con của nhóm GL® không ? Thì câu trả lời là khẳng định với phép nhân ma trận thông thường (det(AB)=detA.detB)!

Nhóm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{\pi}D, trong đó D là ma trận chéo trong http://dientuvietnam...?X=(x_1,...,x_n). Xét đẳng cấu

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{\pi^{-1}}DP_{\pi} http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma là ảnh ngược của nó qua đồng cấu nói trên. Đặt http://dientuvietnam...1;t_1,...,t_n].

Khi đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?i, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{\pi^{-1}}DP_{\pi}=D' trong đó http://dientuvietnam...1,...,t'_n], với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t'_i=t_{\pi(i)},i=1,2,...,n.

Vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(P_{\pi}D)(P_{\pi_1}D_1)=P_{\pi}P_{\pi_1}(P_{{\pi_1}^{-1}}DP_{\pi_1})D_1=P_{\pi\pi_1}D'D_1, trong đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D'=[t'_1,...,t'_n], với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t'_i=t_{\pi_1(i)}.

Mặt khác, chỉ có ma trận đơn vị là ma trận hoán vị đường chéo duy nhất. Từ đây suy ra mọi ma trận đều viết được duy nhất dưới dạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{\pi}D.

[canh_dieu]

Từ đây suy ra mọi ma trận đơn đều viết được duy nhất dưới dạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{\pi}D.

@ Mr. Big Problem:

*Giả thiết : Cho G là nhóm abel hữu hạn có cấp n chia hết cho số p nguyên tố.
Coi như đã chứng minh được điều sau :
(3a) nếu một nhóm H bất kì có số mũ m thì tồn tại s để m^s chia hết cho cấp của H.
*Yêu cầu : suy ra điều sau
(3b) trong G tồn tại phần tử x có chu kì chia hết cho p.

Nếu mọi phần tử của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G đều có chu kì không chia hết cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p thì http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G sẽ có số mũ không chia hết cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p (chẳng hạn, tích của tất cả các chu kì của tất cả các phần tử của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G). Điều này mâu thuẫn với 3(a) và giả thiết http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p là ước của cấp của http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?G.

[vinhspiderman]

Nếu mọi phần tử của  đều có chu kì không chia hết cho  thì  sẽ có số mũ không chia hết cho  (chẳng hạn, tích của tất cả các chu kì của tất cả các phần tử của ). Điều này mâu thuẫn với 3(a) và giả thiết  là ước của cấp của .

Chà chà,anh cánh diều "nhanh thật",em nghĩ ra hôm qua định pót cho bác Mr. Big Problem mà hôm qua giờ chẳng vào diễn đàn được,hix hix.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhspiderman: 05-07-2005 - 11:39

[nemo]

Từ đây suy ra mọi ma trận đơn đều viết được duy nhất dưới dạng .

Cảm ơn anh Canh_dieu, em viết nhầm !

từ gt vẫn suy ra được 3b không khó khăn lắm theo định lý Sylow

Nếu mình không lầm thì định lý Sylow nói rằng trong nhóm hữu hạn có cấp n thì nếu m là số mũ cao nhất của số nguyên tố p sao cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^m là ước của n khi đó tồn tại một nhóm con của G có cấp http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^m và được gọi là p-nhóm con Sylow ! Nếu như thế thì đúng là không khó khăn lắm để suy ra 3b vì các phần tử của nhóm con cấp http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^m này có chu kỳ phải là lũy thừa của p. (Chu kỳ có phải là cấp của phần tử không nhỉ !?)

Thêm một vấn đề nữa về nhóm:

1. Chứng minh tập các số đại số lập thành một nhóm đối với phép nhân thông thường (tương tự, phép cộng thông thường).

2. Chứng minh tập các số đại số lập thành một trường !

[xuansang]

nếu một nhóm H bất kì có số mũ m thì tồn tại s để m^s chia hết cho cấp của H.

Đây là một bài toán hay (theo mình)! Anh em có cách giải nào đủ đơn giản thì pót lên nhé!

[vinhspiderman]

Chứng minh 2 bài tập 1,2 của bạn nemo :

Giả sử a và b là 2 số đại số tùy ý.
Xét mở rộng Q(a,b).Khi đó [Q(a,b):Q]=[Q(a,b):Q(a)].[Q(a):Q].
Vì b là đại số trên Q nên cũng đại số trên Q(a),do đó [Q(a,b):Q(a)]<+infinity.Từ đây kéo theo [Q(a,b):Q]<+infinity,suy ra Q(a,b) là một mở rộng đại số của Q.Do a+b và a.b thuộc Q(a,b) nên suy ra chúng đều là các số đại số.Như vậy tập các số đại số (kí hiệu là A) là một vành con của R.
Bây giờ ta cm A là trường.Nếu a thuộc A thì -a cũng thuộc A,nên (A,+) là nhóm.Nếu a thuộc A,khi đó phải có một đa thức hữu tỉ P(x) thỏa P(a)=0,khi đó xét đa thức P*(x)=x^deg(P).P(1/x),đa thức này cũng là đa thức hữu tỉ,và rõ ràng,nhân 1/a làm nghiệm.
Vậy A là một trường.

[vinhspiderman]

QUOTE (Mr. Big Problem @ Jul 4 2005, 07:55 AM)
nếu một nhóm H bất kì có số mũ m thì tồn tại s để m^s chia hết cho cấp của H.



Đây là một bài toán hay (theo mình)! Anh em có cách giải nào đủ đơn giản thì pót lên nhé!

Tôi nghĩ là Mr. Big Problem post thiếu giả thiết H là nhóm abel!
Chứng minh (3a) (thêm giả thiết H là nhóm abel) của Mr. Big Problem :

Ta chứng minh bằng qui nạp theo cấp của nhóm H.
Khi m=1 thì bài toán là hiển nhiên.
Giả sử đúng với m-1,ta chứng minh trường hợp m.
Xét một phần tử x <> 1 tùy ý trong H,đặt A=<x>.Khi đó card(A)=ord(x)|m (vì theo giả thiết x^m=1).
Vì H là nhóm abel nên H/A là một nhóm.Khi đó dễ thấy m cũng là một số mũ của H/A.Mà card(H/A)<card(H) nên theo giả thiết quy nạp tồn tại r để card(H/A)|m^r.Suy ra
card(H)=card(H/A).card(A)|m^(r+1)
và ta có ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhspiderman: 05-07-2005 - 15:42

[vinhspiderman]

Mình đưa thêm một ví dụ cho (2) của Mr. Big problem :

Z[X] là một ED mà không là UFD.

[noproof]

Mình đưa thêm một ví dụ cho (2) của Mr. Big problem :

Z[X] là một ED mà không là UFD.

Đánh máy nhầm: Z[X] là UFD mà không là ED.

Nhân bài của nemo về số đại số, mọi người thử chứng minh bài tập sau (mệnh đề):

3. Chứng minh rằng tập các số nguyên đại số lập thành một vành (với phép cộng, nhân thông thường).

Ghi chú: Một số phức được gọi là một số nguyên đại số (algebraic number) nếu nó là nghiệm của một đa thức (khác 0) nào đó với hệ số nguyên và có hệ số ứng với số mũ cao nhất bằng 1 (monic polynomial).

[Mr. Big Problem]

Cám ơn mọi người đã giải quyết các vấn đề của mình.Hôm nay mình mang tới 2 bài tập nữa :

(4) Bạn hãy cho một ví dụ về một vành giao hoán có một ideal không hữu hạn sinh.

(5) Cho K là một trường,xét K[x1,x2,x3,x4].
Đặt I=(x1)+(x2),J=(x3)+(x4).
Chứng minh rằng IJ {f.g|f I,g J}.

[prime]

4)vành đa thức vô hạn biến chinh là vành cần tìm K[ x_{1} ,..., x_{n} ,...] iđêan sinh bởi các biến kô hữu hạn sinh.
5)phần tử x1.x3+x2.x4 thuộc IJ nhưng kô thuộc vế phải

[vinhspiderman]

Nhân tiện bạn prime nhắc đến vành K[x1,x2,...] là vành đa thức vô hạn đếm được biến,mình cũng xin bàn về cách xây dựng vành này một tí .
Người ta xây dựng vành này như sau :

Xét K là một trường.Đặt K0=K,khi đó xây dựng K1=K[x1],K2=K1[x2],... tổng quát Kn+1=Kn[xn+1] . Vì tồn tại một đơn cấu từ Kn vào Kn+1 với mỗi n nên có thể xem
K0<K1<... . (< nghĩa là tập con)
Khi đó ta đn K[x1,...]=union{Kn|n = 0,1,2,...}

Thật ra cách xây dựng này vẫn chưa đạt được chuẩn toán học về chặt chẽ vì ở thực ra chỉ có thể xem Kn được chứa trong Kn+1 nếu số các vành này là hữu hạn,còn khi số các vành này là vô hạn đếm được thì khi xem K0 là con K1 nghĩa là K0 đã thay thành một K0' nằm trong K1 đẳng cấu với K0,sau đó lại xem K1 là con K2 thì K1 chuyển thành K1' trong K2 và do đó K0 cũng chuyển thành K0'' trong K2 ... Cứ như vậy quá trình này không hợp lý vì rốt cuộc mỗi tập Kn được xem là vành con được chứa trong vành nào?Đó không thể là vành K[x1,...] vì chúng ta đang xây dựng chúng,cần chứng minh chúng tồn tại!
Vấn đề xây dựng một cách thiết lập chặt chẽ cho vành đa thức K[x1,...] cũng rất đáng quan tâm,các bác có ý kiến gì không?

[mathsbeginner]

K[x1,...]=union{Kn|n = 0,1,2,...}

Thật ra cách xây dựng này vẫn chưa đạt được chuẩn toán học về chặt chẽ vì ở thực ra chỉ có thể xem Kn được chứa trong Kn+1 nếu số các vành này là hữu hạn,còn khi số các vành này là vô hạn đếm được thì khi xem K0 là con K1 nghĩa là K0 đã thay thành một K0' nằm trong K1 đẳng cấu với K0,sau đó lại xem K1 là con K2 thì K1 chuyển thành K1' trong K2 và do đó K0 cũng chuyển thành K0'' trong K2 ... Cứ như vậy quá trình này không hợp lý vì rốt cuộc mỗi tập Kn được xem là vành con được chứa trong vành nào?Đó không thể là vành K[x1,...] vì chúng ta đang xây dựng chúng,cần chứng minh chúng tồn tại!

Mình không hiểu ý bạn lắm. Việc định nghĩa một tập hợp bằng hợp của các tập hợp khác mình thấy không có gì thiếu chặt chẽ cả.

Có một cách định nghĩa khác của vành đa thức này.

Xét http://dientuvietnam...?K&#091;x1,...] là K-module sinh bởi các đơn thức ở trên.

Còn định nghĩa phép cộng, phép nhân nữa nhưng viết hơi dài dòng. Bạn nào quan tâm thì tự xét tiếp nhé.

[Mr. Big Problem]

Thank prime.
Bài tập tiếp theo :

(6) Cho T,S là các vành giao hoán (có đơn vị) và giả sử f:T --> S là một đồng cấu vành (giữ nguyên đơn vị).
Kí hiệu I(T) và I(S) là tập tất cả các ideal của T và S.
Kí hiệu C(T)={f*(J)|J in I(S)} và E(S)={(f(I))|I in I(T)},trong đó f*(J) tức là ảnh ngược của J.
Chứng minh rằng tồn tại một song ánh từ C(T) vào E(S).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr. Big Problem: 28-07-2005 - 22:11