Chủ đề này có 51 trả lời

[vinhspiderman]

Mình không hiểu ý bạn lắm. Việc định nghĩa một tập hợp bằng hợp của các tập hợp khác mình thấy không có gì thiếu chặt chẽ cả.

Cách đn mathsbeginner đưa ra rất tốt.

Còn cách đn mà mình đã dẫn ra thực sự là không được chặt chẽ về mặt toán học.
Chỗ không chặt chẽ chính là lấy hợp vô hạn các tập Kn nhưng về mặt tập hợp các tập này là phân biệt nhau.Trong khi đó yêu cầu của ta khi lấy hợp là các tập Kn được chứa trong Kn+1 thực sự.
Sự thật thì trong mỗi tập Kn+1 có một vành con Kn' đẳng cấu với Kn;nếu xem hợp Kn với Kn+1 là hợp của Kn' với Kn+1 (=Kn+1) thì khi hợp thêm với Kn+2 thì 2 tập Kn+2 và Kn+1 là hoàn toàn khác nhau.

[vinhspiderman]

Thank prime.
Bài tập tiếp theo :

(6) Cho T,S là các vành giao hoán (có đơn vị) và giả sử f:T --> S là một đồng cấu vành (giữ nguyên đơn vị).
Kí hiệu I(T) và I(S) là tập tất cả các ideal của T và S.
Kí hiệu C(T)={f*(J)|J in I(S)} và E(S)={(f(I))|I in I(T)},trong đó f*(J) tức là ảnh ngược của J.
Chứng minh rằng tồn tại một song ánh từ C(T) vào E(S).

Tôi post lại đề của bác (để ở trang 1 bị khuất , hê hê) . Đây là một bài tập thú vị ! Dưới đây là lời giải :

Xét các ánh xạ g : E(S) --> C(T) , J --> f*(J) và h : C(T) --> E(S) , I --> (f(I)) .
Ta có thể dễ dàng kiểm tra 2 bổ đề sau :

Bổ đề 1 : Với mỗi I thuộc I(T) và J thuộc I(S) ta luôn có
I < f*(f(I)) và f(f*(J)) < J (< kí hiệu cho "là tập con").

Từ bổ đề 1 ta suy ra ngay

Bổ đề 2 : (f(I)) = (f( f*( (f(I)) ) )) và f*(J) = f*( (f( f*(J) )) ) với mọi I thuộc I(T) và J thuộc I(S) .

Với mọi J thuộc E(S) , ta phải có J = (f(I)) với một I nào đó trong I(T) . Từ bổ đề 2 ta suy ra J = (f(f*((f(I))))) = h(g(J))
Tương tự với I thuộc C(T) ta cũng có I = f*(J) với một J nào đó trong I(S) . Lại áp dụng bổ để 2 ta cũng suy ra I = f*((f(f*(J)))) = g(h(I))
Nói cách khác gh và hg là các ánh xạ đồng nhất do đó suy ra g và h đều là các song ánh .

[prime]

sao bài này có vẻ sai
xét ánh xạ đông nhất từ vành Z vào trường Q là phản ví dụ

cần điều kiện f(I ) cũng là một iđêan nữa mới được. khi đó ta đưa về kiến thức mở rộng hay thu hẹp một iđêan thì lời giải như trên

[vinhspiderman]

sao bài này có vẻ sai
xét ánh xạ đông nhất từ vành Z vào trường Q là phản ví dụ

cần điều kiện f(I ) cũng là một iđêan nữa mới được. khi đó ta đưa về kiến thức mở rộng hay thu hẹp một iđêan thì lời giải như trên

Mình hiểu ý prime rồi nhưng không hề sai đâu prime , chỉ là vấn đề kí hiệu .
Nếu bạn xem kĩ lại tập E(S)={(f(I))|I thuộc I(T)} tức là tập tất cả các ideal được sinh bởi f(I) trong S chứ không phải là tập tất cả các tập f(I) !

(kí hiệu (f(I)) là ideal sinh bởi tập f(I) trong S mà!)

[Mr. Big Problem]

Thank vinhspiderman , nice proof .
Bài toán tiếp theo :

(7) Xét vành ma trận thực cấp n Mat(n) . Kí hiệu Mat* là tập tất cả các ma trận khả nghịch . Bạn hãy xác định tập R(Mat*) là vành con nhỏ nhất của Mat(n) chứa tập Mat* .

[prime]

vành cần tìm chính là vành mat ®.
ý tưởng chứng minh như sau:

1)chỉ cần chứng minh các ma trận mà tất các các vị trí khác 0 thuộc vành cần tìm,

vì các ma trận có vị trí bằng 0 được biểu diễn là tổng 2 ma trận như sau:
A=B+C.
với Aij 0 thì Bij=Cij=Aij/2.
Aij=0 thì Bij = - Cij khác o bất kì.

2) chứng minh 1
xét phép thế như sau
1 2 3 ..... n
2 3 4 ..... n
có cấp là n http://dientuvietnam...imetex.cgi?A^ij (j)=Aj (j) của A các phần tử còn lại bằng 0.

Có lẽ các bài ở đây nên theo hệ thống thì tốt hơn.

[Mr. Big Problem]

@ prime : prime có thể ghi chi tiết chứng minh (2) của bạn không ? Tôi thấy không rõ ràng lắm .
Về việc hệ thống lại các vấn đề thì tôi cũng có mong muốn như vậy , chỉ có điều các vấn đề không phải là hệ thống bài tập đã được soạn ra sẵn mà là những vấn đề (bài toán + bài tập) gặp phải trong khi học .

Đây là bài tập tiếp theo :

(8) (a) Hãy chỉ ra một ví dụ một ideal sơ cấp (primary ideal) mà không là lũy thừa của một ideal cực đại (maximal ideal) .
(b) Hãy chỉ ra một ví dụ một lũy thừa của một ideal nguyên tố (prime ideal) mà không phải là ideal sơ cấp .

[vinhspiderman]

Mình có một cách giải quyết tương đối sơ cấp cho bài toán (7) của Mr. Big Problem bằng một bổ đề như sau :

Bổ đề : mọi ma trận A đều có thể biểu diễn thành A=B+C trong đó B,C là các ma trận khả nghịch .

Dùng bổ đề này ta suy ra ngay R(Mat*)=Mat(n) .

[Mr. Big Problem]

(9) Giả sử R và S là các vành giao hoán (có đơn vị) và f:R-->S là đồng cấu vành bảo toàn đơn vị . Với mỗi ideal I của R ta kí hiệu Ie=(f(I)) , tức là ideal sinh ra bởi tập f(I) trong S (extended ideal) .

(1i)Hãy chứng minh rằng radical(Ie) <= (radical(I))e (<= tức là tập con)
(2i)Hãy chỉ ra phản ví dụ cho thấy radical(Ie) là tập con thực sự của (radical(I))e .

[nemo]

Bài 1': Tìm ví dụ một vành là PID nhưng không là Euclidean domain.

Hôm nay về nhà em mới vào được mạng, chẳng hiểu sao các dịch vụ net gần trường đều không vào được diễn đàn !?

Câu hỏi của anh noproof lâu rồi mà bây giờ em mới đọc được, có câu trả lời cho câu hỏi này, nói đúng hơn em đang tìm bài báo "PID that is not ED" của một nhà toán học Mĩ (em không nhớ tên, hình như là Wilson ?) được công bố vào khoảng năm 73, chứng minh trường http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q(\sqrt{-19}) (nếu em nhớ không lầm) là PID nhưng không là ED !

[quantum-cohomology]

Mình có 1 bài tập nho nhỏ . Cho G là 1 nhóm, acts trivial lên M, là 1 nhóm abel. CMR cohomology , trong đó K(G,1) là không gian Eilenberg-McLane. Đây là 1 bài tập ví dụ về mối liên quan giữa cohomology of groups và cohomology of topological spaces.

[madness]

Bài 1': Tìm ví dụ một vành là PID nhưng không là Euclidean domain.

Câu hỏi của anh noproof lâu rồi mà bây giờ em mới đọc được, có câu trả lời cho câu hỏi này, nói đúng hơn em đang tìm bài báo "PID that is not ED" của một nhà toán học Mĩ (em không nhớ tên, hình như là Wilson ?) được công bố vào khoảng năm 73, chứng minh trường http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q(\sqrt{-19}) (nếu em nhớ không lầm) là PID nhưng không là ED !

Kết quả đó là Z[sqrt(-19)] chứ ko phải Q. Đây là một cách giải đã được đơn giản hóa dưới dạng một chuỗi các bài tập nhỏ để chứng minh Z[sqrt(-19)] là một PID nhưng ko phải là một ED, khá thú vị.

http://math.berkeley...ts/nonEucPID.ps

P/s: trang http://math.berkeley...ergman/.C.to.L/ và http://math.berkeley.edu/~gbergman/ có khá nhiều cái hay

[Mr. Big Problem]

(10) Bài toán sau khá hay:
Bạn hãy cho một phản ví dụ về một module hữu hạn sinh nhưng có một module con không hữu hạn sinh.

Nhận xét đây là một phản ví dụ cho điều kiện về module Nơte:
Một module là Nơte khi và chỉ khi mọi module con của nó là hữu hạn sinh.

[madness]

Kết quả đó là Z[sqrt(-19)] chứ ko phải Q. Đây là một cách giải đã được đơn giản hóa dưới dạng một chuỗi các bài tập nhỏ để chứng minh Z[sqrt(-19)] là một PID nhưng ko phải là một ED, khá thú vị.

Hic, ẩu quá . Chính xác là Z[(1+a)/2], trong đó a=\sqrt(-19), là một PID nhưng ko phải là một ED.

[madness]

Có ai biết là với giá trị nào của số nguyên n (có thể là số âm), Z[\sqrt(n)] là một Euclidean domain ko ạ? (nếu có chứng minh hay phác thảo cách chứng minh được thì tốt )

mad chỉ biết cách chứng minh Z[\sqrt(-1)], Z[\sqrt(3)] là Euclidean domain, còn các giá trị khác thì ko biết gì. Mà hình như có những giá trị n mà Z[\sqrt(n)] là Euclidean domain với norm ko phải là Euclidean norm nữa?!

[noproof]

Có ai biết là với giá trị nào của số nguyên n (có thể là số âm), Z[\sqrt(n)]là một Euclidean domain ko ạ? (nếu có chứng minh hay phác thảo cách chứng minh được thì tốt  )

Ta có thể giả thiết m không chứa bình phương (square-free, hay không chia hết cho một bình phương khác 1). Và noproof "biết" với một điều kiện về m>0 thì vành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\sqrt{-m}] không là PID (nói riêng không là ED) đó là:

Với m>0 không chứa bình phương, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m\not=1,2 thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\sqrt{-m}] không là PID.

Ví dụ không là PID.

[nemo]

Em thì lại có một kết quả khác với anh noproof.

Nếu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?d<0 thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\sqrt{d}] là một PID khi và chỉ khi d=-2 hoặc d=-1.

Có thể chứng minh không khó khăn lắm rằng:

Nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?d http://dientuvietnam...cgi?{-2,-1,2,3} thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\sqrt{d}] là một ED với chuẩn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N(a+b\sqrt{d})=|a^2-db^2|

Từ đây suy ra điều kiện đủ.

Với điều kiện cần, dựa vào một nhận xét là trong miền nguyên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\sqrt{d}], 2 không là phần tử nguyên tố và trong một PID thì phần tử nguyên tố cũng là bất khả quy. Từ nhận xét này nếu chứng minh được với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\sqrt{d}]. Chứng minh điều này cũng không khó.

Trở lại với vấn đề về PID nhưng không là ED, ngoài ví dụ về http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\dfrac{1+sqrt{-19}}{2}] còn các ví dụ khác chẳng hạn như http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q&#091;\dfrac{1+sqrt{-d}}{2}] là một PID với d không có ước chính phương. Vậy thì với những giá trị nào của d thì từ Q[] là PID sẽ kéo theo Z[] cũng là PID (!?), nếu thử làm với d=19 thì thấy rằng tính chất của số nguyên tố 19 quyết định chủ yếu sự kiện này, nói rõ hơn là sẽ đưa về các dạng phương trình Diophante, lẽ dĩ nhiên các số 19,43,67,163 sẽ làm thỏa mãn các tính chất chung nào đó của các phương trình này.

Em đang cố gằng đi sâu hơn vào vấn đề nhưng gặp những khó khăn dường như không vượt qua được, vì thế nếu có những cách tiếp cận khác về vấn đề này mong được mọi người góp ý !

Ngoài ví dụ trên, còn có một ví dụ nữa nhưng em không dám chắc đúng về PID nhưng không là ED đó là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F&#091;&#091;X]].

[noproof]

Với điều kiện cần, dựa vào một nhận xét là trong miền nguyên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\sqrt{d}], 2 không là phần tử nguyên tố và trong một PID thì phần tử nguyên tố cũng là bất khả quy.

Nemo trình bày chứng minh: 2 không là nguyên tố trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\sqrt{d}] hộ với.

Gọi K là một trường số (mở rộng hữu hạn của Q), gọi A là vành các số nguyên của K. Ta biết rằng không phải khi nào A cũng là PID. Người ta có một khái niệm đo sự sai khác của A với một vành PID. đó là khái niệm số các lớp của A (của K) (class number), ký hiệu Cl(A). Ta có A là PID khi và chỉ khi Cl(A)=1.

Năm 1954, Heegner chỉ ra rằng số các lớp của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q&#091;\sqrt{d}], với d<0, bằng 1 khi và chỉ khi d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163. (Và trong khoảng hơn 15 năm, không ai tin rằng chứng minh của Heegner là đúng .)
(Tham khảo trong "Algebraic Number Theory", J.S. Milne, tài liệu cho free trên mạng.)
Hy vọng kết quả của Heegner giúp đỡ phần nào thắc mắc của nemo.

[nemo]

Nemo trình bày chứng minh: 2 không là nguyên tố trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\sqrt{d}] hộ với.

Theo em thì thế này anh ạ:

Ta có http://dientuvietnam...tex.cgi?2|d(d-1). Vì http://dientuvietnam...metex.cgi?d(d-1)=d^2-d=(d+\sqrt{d})(d-\sqrt{d}) nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2|(d+\sqrt{d})(d-\sqrt{d}). Mặt khác, hiển nhiên hai phần tử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{d+\sqrt{d}}{2} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{d-\sqrt{d}}{2} đều không nằm trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\sqrt{d}], nên 2 không phải là phần tử nguyên tố của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z&#091;\sqrt{d}].

Em đang muốn tìm một vì dụ về PID nhưng không là ED khác với các ví dụ về Z[...] trên, dựa vào một bài tập ở lớp gợi ý cho em rằng http://dientuvietnam...&#091;&#091;x]] có thể không là ED mà http://dientuvietnam...&#091;&#091;x]] đã được biết là PID tuy nhiên chứng minh nó không là ED thì em vẫn chưa làm được.

[prime]

thucuf ra vấn đề ở đây là nghiên cứu vành các số nguyên đại số trong trường toàn phương. Nên khi
d 2,4 (mod4) thì vành này là Z[ ]
d 1 mod4 thì vành này này là Z+ Z [ 1/2+/2 ].

chứ xét mọi trường hợp như cậu nói đều là Z[ ] thì chỉ có ý nghĩa trong trương hợp đầu (vấn đề này thuộc về lý thuyết số đại số rất hay nên đọc chứ chỉ cố tìm thì mệt lắm).

còn cái ví dụ nemo định đưa ra thêm không đúng. vì có thế chứng minh ngay A=k[X] là vành Euclid như sau:
f[X] là 1 phần tử của A tức là 1 chuỗi lũy thừa hinh thức thì:

1)nếu hạng tử tự do 0 là phần tử khả nghịch, (nên A là vành địa phương với idean tối đại là (X)).
2) với f[X] bất kì 0 gọi số mũ bé nhất của f[X] có hệ số 0 là d thì.
f[X] =X^d.g[X] với g[X] có hệ số tự do 0 nên khả nghịch theo 1).
hay f[X] và X^d là liên kết.
3) ánh xạ từ A* vào N biến f[X] thành d làm cho A trở thành vành Euclid.