Chủ đề này có 3 trả lời

[vo thanh van]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA – KON TUM
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút



ĐỀ BÀI

Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
$ 2({x}^{3}+2x-y-1)={x}^{2}\left(y+1 \right)$ và ${y}^{3}+4x+1+ln\left({y}^{2}+2x \right)=0 $
Câu 2 (4 điểm)
Cho dãy số thực $ ({a}_{n}) $ xác định như sau:
$ {a}_{1}=1 $ và ${a}_{n+1}={a}_{n}+\dfrac{1}{{a}_{n}} , \left(n\geq 1 \right)$
Chứng minh: $\lim_{n\rightarrow +\propto }\dfrac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$
Câu 3 (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có AB > AC, H là chân đường cao kẻ từ A, M là trung điểm của đoạn AH, gọi D là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, DM cắt đường tròn nội tiếp tại điểm thứ hai N. Chứng minh ND là tia phân giác của góc BNC.

Câu 4 (4 điểm)
Cho phương trình ${x}^{4}+a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+1=0$ có nghiệm. Chứng minh:${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq \dfrac{4}{3}$

Câu 5 (3 điểm)
Cho tập A={0;1;2;3;4;5;6} . Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được chọn trong tập A sao cho số đó chia hết cho 15.


…………………………………………… Hết ……………………………………..

[banhgaongonngon]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA – KON TUM
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút



ĐỀ BÀI
Câu 4 (4 điểm)
Cho phương trình ${x}^{4}+a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+1=0$ có nghiệm. Chứng minh:${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq \dfrac{4}{3}$

 

$x=0$ không phải nghiệm của phương trình nên $x\neq 0\Leftrightarrow x^{2}>0$

Ta có $(x^{4}+1)^{2}=\left ( ax^{3} +bx^{2}+cx\right )^{2}\leq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( x^{6} +x^{4}+x^{2}\right )$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( x^{4}+1 \right )^{2}}{x^{6}+x^{4}+x^{2}}$

 

Đặt $t=x^{2}>0$ ta có

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{t^{4}+2t^{2}+1}{t^{3}+t^{2}+t}$

Ta cần chứng minh $\frac{t^{4}+2t^{2}+1}{t^{3}+t^{2}+t}\geq \frac{4}{3}$       $(*)$

Bất đẳng thức $(*)$ đúng do nó tương đương với bất đẳng thức

$\frac{\left ( t-1 \right )^{2}\left ( (t+1)^{2} +2t^{2}+2\right )}{3t\left ( \left ( t+\frac{1}{2} \right ) ^{2}+\frac{3}{4}\right )}\geq 0$

 

Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{4}{3}$

[phanquockhanh]

Câu 2:

Xem ở đây:http://diendantoanho...ca-nsqrtnsqrt2/

[25 minutes]

Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
$ 2({x}^{3}+2x-y-1)={x}^{2}\left(y+1 \right)$ và ${y}^{3}+4x+1+ln\left({y}^{2}+2x \right)=0 $
 

Phương trình thứ 1 tương đương với 

       $2x^3+4x-2y-2-x^2y-x^2=0$

$\Leftrightarrow (x^2+2)(2x-y-1)=0$

$\Leftrightarrow 2x-y-1=0$