Chủ đề này có 12 trả lời

[maths_lovely]

Cho $x , y >0$ . $x^2+y^2 = 4$
Tìm giá trị lớn nhất của $\dfrac{xy}{x+y+2}$

[*LinKinPark*]

Ta có: $ 4 = {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow xy \le 2 $
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $ A \le \dfrac{{xy}}{{2\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}} $
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y. Khi đó $ A = \sqrt 2 - 1 $
Ta sẽ CM: $ \dfrac{{xy}}{{2\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}} \le \sqrt 2 - 1 $
$ \Leftrightarrow {t^2} - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)t - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) \le 0 $
$ \Leftrightarrow \sqrt 2 - 2 \le t \le \sqrt 2 $
Điều này đúng vì $ 0 < xy \le 2 $
Cách này hơi dở, bạn nào có cách CM hay hơn không.

[*LinKinPark*]

Minh viết gấp quá nên thiếu 1 tí, đặt $ \sqrt {xy} = t $

[king_math]

cậu làm hơi dài đến bước $xy>=2$ thì cậu thay vào luôn đi rồi tính ra luôn cho nhanh
ko cần phải đặt ẩn phụ dài dòng như vậy đâu

[maths_lovely]

cậu làm hơi dài đến bước $xy>=2$ thì cậu thay vào luôn đi rồi tính ra luôn cho nhanh
ko cần phải đặt ẩn phụ dài dòng như vậy đâu

Cho mình hỏi . Trong quá trình làm bài thi cũng phải nói dòng " dự đoán" hả

[1414141]

Giải hay lắm bạn .

[king_math]

Cho mình hỏi . Trong quá trình làm bài thi cũng phải nói dòng " dự đoán" hả

ko có chữ dự đoán trong bài làm đâu
dự đoán ở ngoài nháp đấy

[maths_lovely]

ko có chữ dự đoán trong bài làm đâu
dự đoán ở ngoài nháp đấy

Cám ơn . Mình xưng bạn là kẻ láu táu nhất diễn đàn đó
Chuyên gia a zua
Hèn j` bài viết tăng vượt trột

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maths_lovely: 06-01-2010 - 11:45

[king_math]

nè nè mình là kẻ láu táu à, a zua à
Muốn gây chuyện với mình à???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi king_math: 06-01-2010 - 13:06

[maths_lovely]

nè nè mình là kẻ láu táu à, a zua à
Muốn gây chuyện với mình à???

Zỡn thôi mà , bớt nóng

[khacduongpro_165]

Cho $x , y >0$ . $x^2+y^2 = 4$
Tìm giá trị lớn nhất của $\dfrac{xy}{x+y+2}$

Chú ý:
$x^2+y^2=4\Rightarrow (x+y)^2=4+2xy\leq4+\dfrac{(x+y)^2}{2}\Rightarrow0<x+y\leq\2\sqrt{2}$

Như vậy Nếu: $t=x+y, 0<t\leq2\sqrt{2}$

Thì
$P=\dfrac{t^2-4}{2(t+2)}=\dfrac{t-2}{2}\leq\sqrt{2}-1$

Dấu :=" xảy ra khi $x=y=...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 01-03-2011 - 11:53

[mybest]

Ta có: $ 4 = {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow xy \le 2 $
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $ A \le \dfrac{{xy}}{{2\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}} $
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y. Khi đó $ A = \sqrt 2 - 1 $
Ta sẽ CM: $ \dfrac{{xy}}{{2\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}} \le \sqrt 2 - 1 $
$ \Leftrightarrow {t^2} - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)t - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) \le 0 $
$ \Leftrightarrow \sqrt 2 - 2 \le t \le \sqrt 2 $
Điều này đúng vì $ 0 < xy \le 2 $
Cách này hơi dở, bạn nào có cách CM hay hơn không.

Nhân đây cho em hỏi đến vấn đề này :Viễc dự đoán dấu bằng xảy ra khi nào có công dụng gì trong giải toán bdt và việc áp dụng nó khi giải là như thế nào ,trong trường hợp nào thì minh dự đoán dấu bằng và trong trường hợp nào thì không sử dụng.Mong mọi người giúp đỡ

[khacduongpro_165]

Khi nào bạn thấy giá trị ẩn như nhau (hoán đổi biến thì giá trị BT không thay đổi) thì chắc chắn là dấu = xảy ra khi các ẩn bằng nhau
VD trong TH này thì k thể dự đoán dấu = xảy ra nè:
$ x + y + z = 3 \hfill \\ A = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y} + \dfrac{9}{z} \hfill \\ $

Không hoàn toàn là thế em ah! Anh không nhớ rõ nhưng có đề VMO đã từng ra mà các biến hoán vị được nhưng mà Cực trị không đạt dc tại điểm mà các biến bằng nhau! Các biến băng nhau chỉ là các bài thường gặp thôi!