Cho $ a\neq 0$ sao cho phương trình $ax^n+x+1$ có đủ $n$ nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 1 nghiệm $ \in [-2; 2]$
#1
Đã gửi 07-01-2010 - 17:10
QuylaoKame
-
- Thành viên
-
- 26 Bài viết
Binh nhất
Kamejoko-Tiếp chiêu giang hồ
#2
Đã gửi 08-01-2010 - 12:22
daihiep
-
- Thành viên
-
- 150 Bài viết
Trung sĩ
pt có đủ n nghiệm nên đạo hàm của nó có (n-1) nghiêm.tư đay suy ra n=2 hoăc n=3
với n =2 biêu diên nghiêm theo a dễ dàng suy ra rằng co mot nghiem thuoc [-2,2]
với n=3 ta suy ra dc rang a<0.
theo viet ta co:
x1+x2+x3=0
x1x2+x2x3+x3x1=1/a
x1x2x3=-1/a
suy ra trong 3 nghiem co 1 nghiem dương va 2 nghiem am. giả sử x2>0
ta lai co x1^2+x2^2+x3^2=-1/a
ap dung bdt cho 3 só suy ra a>-1/27
khi do ta co f(-2)f(2)=(8a+3)(8a-1)<0 nen pt co mot nghiem thuoc [-2,2]
với n =2 biêu diên nghiêm theo a dễ dàng suy ra rằng co mot nghiem thuoc [-2,2]
với n=3 ta suy ra dc rang a<0.
theo viet ta co:
x1+x2+x3=0
x1x2+x2x3+x3x1=1/a
x1x2x3=-1/a
suy ra trong 3 nghiem co 1 nghiem dương va 2 nghiem am. giả sử x2>0
ta lai co x1^2+x2^2+x3^2=-1/a
ap dung bdt cho 3 só suy ra a>-1/27
khi do ta co f(-2)f(2)=(8a+3)(8a-1)<0 nen pt co mot nghiem thuoc [-2,2]
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
