ĐỀ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN PHÚ THỌ DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA
NĂM HỌC: 2009-2010
Thời gian: 180 phút
Câu 1: Cho $ a,b,c >0 $. Chứng minh:
$ \sqrt[3]{({\dfrac{a}{b+c}})^2}+\sqrt[3]{({\dfrac{b}{a+c}})^2}+\sqrt[3]{({\dfrac{c}{b+a}})^2} \geq \dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2} $
Câu 2: Tìm tất cả các đa thức $ P(x) $ với hệ số nguyên thỏa mãn:
$ P(x)+P(y)+P(z) \vdots (x+y+z), \foral x,y,z \in Z $
Câu 3: Trong mặt phẳng cho đường tròn (O,R), A là điểm cố định trên đường tròn,
S là điểm cố định ngoài đường tròn. Một đường thẳng d thay đổi đi qua S và cắt
đường tròn (O,R) tại 2 điểm phân biệt M,N khác A. Đường thẳng vuông góc với OA tại O
cắt các đường AM,AN tại E,F.
Chứng minh tứ giác MEFN nội tiếp đường tròn tâm K nào đó và K luôn thuộc 1 đường cố định.
Câu 4: Cho p,q là các số nguyên dương thỏa mãn $ 1<q\leq p$.
Chứng minh nếu $ a,b \in Z_{+}$ thỏa mãn: $ (a-b)^2 \vdots (pab-q) $ thì $ a=b$
Câu 5: Giả sử S là tập con của tập A={1,2,3,...,14,15} thỏa mãn:
tích 3 phần tử bất kỳ thuộc S không là số chính phương.
Tìm số phần tử lớn nhất của S.
