Thứ tự mình trình bày ra đây chưa phải là tốt nhất,nó chỉ là thứ tự để tiện cho việc chứng minh thôi,còn về các ý
* vấn đề cơ bản dẫn đến việc nghĩ ra các định lý về p-nhóm Sylow (tức là ông Sylow đã quan tâm đến câu hỏi gì mà từ đó ông ta nghĩ ra các định lý này)
* làm sáng rõ vì sao ông Sylow nghĩ ra cách giải quyết vấn đề nói trên (tức là dựa trên những dấu hiệu gì mà ông Sylow đã nghĩ ra cách chứng minh của các định lý)
* lịch sử của việc hình thành các định lý này
thì mình rất tiếc là chưa rõ lắm,không dám "loạn ngôn" (hy vọng bác nào biết về các vấn đề trên thì cùng thảo luận)!
Cuối cùng,mình không đưa ra những chứng minh chi tiết nếu không có một hoàn cảnh nào quá đặc biệt,vì làm như vậy rất dài,không đủ thời gian.Vả lại,các bạn quan tâm có thể tìm xem từng bước của chứng minh trong những sách về đại số đại cương hoặc lý thuyết nhóm.Referrence của mình đề nghị là Algebra - S.Lang và The theory of groups - Hall.
1)Vấn đề cơ bản mở đầu của 3 định lý Sylow là công thức các lớp :
Xét G là một nhóm hữu hạn.Xét G tác dụng liên hợp lên chính nó.Chúng ta định nghĩa
Gx={y|y.x.y^(-1)=x} gọi là nhóm đẳng hướng của x trong G.
loc(G,x)={y.x.y^(-1)|y in G} gọi là quỹ đạo của x trong G.
Khi đó ta có :
(1a)(G:Gx)=card(loc(G,x))
(1b)Các loc(G,x) sẽ tạo thành các lớp phân hoạch của G nên dẫ đến
(G:1)=sum{(G:Gx)},trong đó tổng này lấy theo tất cả các lớp quỹ đạo loc(G,x) (gọi là công thức các lớp).
Để ý rằng với Z={y|yz=zy với mọi z thuộc G} là tâm của G thì x thuộc Z khi và chỉ khi (G:Gx)=1.Do đó công thức trên còn có thể viết lại
(G:1)=card(Z)+sum{(G:Gx)|(G:Gx)>1}
2)Để dẫn tới định lý 1 của Sylow,chúng ta cần 2 bổ đề sau :
Bổ đề 1 : Nếu G là một nhóm abel hữu hạn có số mũ m thì tồn tại s để m^s chia hết cho card(G).
(cm bằng quy nạp)
Từ bổ đề 1 ta suy trực tiếp ra bổ đề 2 :
Bổ đề 2 : Nếu G là một nhóm abel hữu hạn và p là một ước nguyên tố của card(G) thì trong G tồn tại một nhóm con H cấp p.
3)Xét một nhóm hữu hạn G có card(G) chia hết cho p nguyên tố.Giả sử s là số mũ lớn nhất sao cho p^s vẫn còn là ước của card(G).Khi ấy nhóm con có cấp p^s được gọi là p-nhóm con Sylow của G.Câu hỏi được đặt ra là có phải khi nào cũng tồn tại một p-nhóm con Sylow trong G hay không?
Nhờ vào (1b) và bổ đề 2,ta chứng minh được định lý Sylow 1 trả lời cho câu hỏi trên.Định lý đó như sau :
Nếu G là nhóm hữu hạn và p là một ước nguyên tố của card(G).Khi đó trong G tồn tại ít nhất một p-nhóm con Sylow.
Định lý này cho biết sự tồn tại của p-nhóm con Sylow,nhưng sâu hơn về cấu trúc và tính chất của các p-nhóm con này là định lý Sylow 2.Để chứng minh được định lý này ta cũng cần dùng một kết quả bổ trợ.
4)Bổ đề 3 : Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G.Giả sử H là một nhóm con của cái chuẩn tắc hóa của K trong G.Khi ấy
(3a)HK=KH là một nhóm.
(3b)HK/K đẳng cấu với H/(H
(cm của bổ đề này không phức tạp lắm,có thể chứng minh trực tiếp)
5)Định lý Sylow 2 :
Bây giờ xét H là một p-nhóm con của G (tức là nhóm con có cấp là lũy thừa của G).Gọi S là tập tất cả các p-nhóm con Sylow của G.Khi ấy H tác dụng liên hợp lên S.Áp dụng (1b) và bổ đề 3 ta có thể chứng minh được định lý Sylow 2 phát biểu như sau :
Cho G là một nhóm hữu hạn.Khi đó
(5a)mỗi p-nhóm con H của G luôn được chứa trong một p-nhóm con Sylow nào đó.
(5b)tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.
(5c)số các p-nhóm con Sylow của G đồng dư với 1 theo mod p.
6)Cuối cùng,từ công thức biến đổi của (1b) ta chứng minh được một phần của định lý Sylow 3 :
Cho G là một p-nhóm.Khi đó
(6a)G giải được.
(6b)nếu card(G)>1 thì tâm Z của G là không tầm thường.
Như đã nói ở trên,(6b) được chứng minh trực tiếp từ biến đổi của (1b).Còn (6a) có thể suy ra bằng quy nạp dựa trên (6b) và một bổ đề nhỏ dưới đây :
Bổ đề 4 : Cho f:G-->G' là đồng cấu nhóm.Khi đó nghịch ảnh của một tháp abel trong G' cũng là một tháp abel trong G.
Tóm lại,ta có các định lý Sylow (3,5,6).
