Chủ đề này có 31 trả lời

[nemo]

Nhóm G' mà nemo nói đây có phải là [G,G]ko, tại vì kí hiệu G' thường dùng để diễn tả commutator subgroup [G,G] của G? Và p,p_i có điều kiện gì ko, ví dụ p<>p_i và p_i<>p_j nếu i<>j ?

Không anh ạ em định chứng minh điều này: Mọi nhóm cấp p_1p_2...p_n là solvable groups thì mọi nhóm cấp 2p_1p_2...p_n cũng là solvable groups, sau đó thấy ngon ăn tổng quát thay 2 bởi p là prime number xem sao nhưng chưa làm được

Cái này mad chưa đọc, hì, chỉ biết mấy thằng bạn nói dùng transfer gì đó, hay character theory gì đó

Đúng rồi, character nhưng em mù tịt chẳng hiểu nó là gì (chưa học tới ) nên không đọc. Chứng minh Đ/L này em biến đổi được đến đây thì cắn bút:

Prove that: G a finite group, g belongs to G such that Orb(g) = p^a where p is a prime and a is a nonnegative, nonzero integer. Then G is a simple.

(Orb(g) là quĩ đạo của g trong G). Em nhớ lõm bõm thì đây cũng là một Theorem của cụ Burnside (Cụ này chiến Group theory kinh nhỉ ).

[nemo]

Mới mò được cách chứng minh "rùa" cho nhóm S_n (n>4) không giải được như sau

Theo ý tưởng là tìm nhóm con H của G sao cho [H,H]=H ta chọn H=A_n thì thấy [A_n,A_n]=A_n do A_n được sinh bởi các 3-cycle và dễ kiểm chứng rằng mọi x là 3-cycle thuộc A_n thì tồn tại y,z cũng là các 3-cycle trong A_n sao cho x=[y,z].

Cũng từ ý toán về các 3-cycle trên lại mò thêm được một cách đơn giản nữa là giả sử nhóm H chứa tất cả các 3-cycle thì [H,H] cũng chứa tất cả các 3-cycle mà điều này thì dễ kiểm chứng, nhưng vì S_n chứa tất cả các 3-cycle nên không thể tồn tại chuỗi giải được

[madness]

Mới mò được cách chứng minh "rùa" cho nhóm S_n (n>4) không giải được như sau

Theo ý tưởng là tìm nhóm con H của G sao cho [H,H]=H ta chọn H=A_n thì thấy [A_n,A_n]=A_n do A_n được sinh bởi các 3-cycle và dễ kiểm chứng rằng mọi x là 3-cycle thuộc A_n thì tồn tại y,z cũng là các 3-cycle trong A_n sao cho x=[y,z].

Cũng từ ý toán về các 3-cycle trên lại mò thêm được một cách đơn giản nữa là giả sử nhóm H chứa tất cả các 3-cycle thì [H,H] cũng chứa tất cả các 3-cycle mà điều này thì dễ kiểm chứng, nhưng vì S_n chứa tất cả các 3-cycle nên không thể tồn tại chuỗi giải được

Chà, ngắn và đơn giản thiệt. Cách này hay quá chứ, đâu phải rùa đâu Nhưng nếu x là 3-cycle (a,b,c) thì y,z sẽ như thế nào để [y,z]=x thế, lười mò quá

Prove that: G a finite group, g belongs to G such that Orb(g) = p^a where p is a prime and a is a nonnegative, nonzero integer. Then G is a simple.

(Orb(g) là quĩ đạo của g trong G). Em nhớ lõm bõm thì đây cũng là một Theorem của cụ Burnside (Cụ này chiến Group theory kinh nhỉ ).

Orb(g) mà nemo nói ở đây là quỹ đạo trong tác động nhóm nào thế. có phải là tác động G-->Bijection(G), g |---> (x |---> gxg^(-1) ko nhỉ?

[nemo]

Nhưng nếu x là 3-cycle (a,b,c) thì y,z sẽ như thế nào để [y,z]=x thế, lười mò quá

Thế này anh ạ, giả sử có 3-cycle (i,j,k) H, ta chọn r,s tùy ý không thuộc {i,j,k} thì http://dientuvietnam...gi?&#091;(i,j,k),(i,r,s)]=(i,j,k)^{-1}(i,r,s)^{-1}(i,j,k)(i,r,s)=(k,j,i)(s,r,i)(i,j,k)(i,r,s)=(i,k,s) http://dientuvietnam...cgi?&#091;H,H]. Vì i,j,k,r,s được chọn bất kỳ nên rõ ràng nếu H chứa tất cả các 3-cycle thì [H,H] cũng chứa tất cả các 3-cycle. Tương tự cho việc chứng minh [A_n,A_n]=A_n.

Từ việc mò theo kiểu này em có được các kết quả sau:

• S_4 có composition series là .
• [S_n,S_n]=A_n.
• Sylow 2-subgroups of S_4 đẳng cấu với nhóm D_4
• S_5 has no subgroup of order 15.

Orb(g) mà nemo nói ở đây là quỹ đạo trong tác động nhóm nào thế. có phải là tác động G-->Bijection(G), g |---> (x |---> gxg^(-1) ko nhỉ?

Tác động liên hợp từ nó vào chính nó anh ạ. À mà Bijection(G) là gì thế anh ?

[quantum-cohomology]

À mà Bijection(G) là gì thế anh ?

Chắc là tập hợp các song ánh từ G vào G, chắc là Aut(G) Bijection(G) ?

[madness]

Bijection(G) là đúng là tập hợp các song ánh từ tập hợp G vào tập hợp G, và do đó Aut(G) là tập con của Bijection(G). Và một tác động nhóm cũng có thể coi như là một group homomorphism từ G vào Bijection(G), vì Bijection(G) cũng là một nhóm.

[nemo]

2. Cho G là một nhóm hữu hạn, |G|=p^n * k. (k ko chia hết cho p)
    Khi đó, số nhóm con của G có p^m phần tử (m < n+1) là một số đồng dư 1 mod p.

Không hiểu em có nhầm chỗ nào không nhưng vừa nãy có mày mò một lúc thì thấy cần thêm điều kiện G là Solvable group ?(Vì em dựa vào mấy chiêu mà cụ Hall và Carter đã làm). Em nghĩ mình nhầm nhưng cứ thử post lên xem

off: Anh Madness có biết địa chỉ nào trên mạng cho đọc ebook cuốn An introduction to the theory of groups của J.Rotman không nhỉ, quả thật em hỏi thế thôi vì nghe đồn cuốn này hay lắm mà khổ từ thủa bé đến giờ chưa được thấy hình thù mặt mũi nó ra sao, hôm anh bảo tìm trên thư viện cũng lóc cóc làm xong cái thẻ vào tìm thì té ra không có, đào bới trên mạng thì cũng phúc đức ngó được cái bìa nhưng giá cao quá với không tới, chắc cũng chẳng có ebook đâu nhể nhưng mà cứ hỏi thế hộ nhỡ ...

[madness]

Không hiểu em có nhầm chỗ nào không nhưng vừa nãy có mày mò một lúc thì thấy cần thêm điều kiện G là Solvable group ?(Vì em dựa vào mấy chiêu mà cụ Hall và Carter đã làm). Em nghĩ mình nhầm nhưng cứ thử post lên xem

Có cách CM mà ko cần điều kiện G là solvable group, để vài bữa nữa rảnh anh post ha . Ko biết chiêu cụ Hall và Carter làm là chiêu gì thế nhỉ?

off: Anh Madness có biết địa chỉ nào trên mạng cho đọc ebook cuốn An introduction to the theory of groups của J.Rotman không nhỉ, quả thật em hỏi thế thôi vì nghe đồn cuốn này hay lắm mà khổ từ thủa bé đến giờ chưa được thấy hình thù mặt mũi nó ra sao, hôm anh bảo tìm trên thư viện cũng lóc cóc làm xong cái thẻ vào tìm thì té ra không có, đào bới trên mạng thì cũng phúc đức ngó được cái bìa nhưng giá cao quá với không tới, chắc cũng chẳng có ebook đâu nhể nhưng mà cứ hỏi thế hộ nhỡ ...

Hi`, anh ko có, nếu có thì send nemo liền Từ lúc chôm cuốn Rotman từ thư viện về, tối ngủ nhìn nó một cái rồi mới ngủ ngon được (dù chỉ nhìn cái bìa màu vàng GTM). Thầy của nemo có đưa nemo 3 cuốn sách group theory chưa? Anh có một vài ebooks về group theory, trong đó có cuốn theory of groups of finite orders của cụ Burnside (thầy anh nói là hay, anh chưa đọc), send nemo ha

[nemo]

Có cách CM mà ko cần điều kiện G là solvable group, để vài bữa nữa rảnh anh post ha . Ko biết chiêu cụ Hall và Carter làm là chiêu gì thế nhỉ?

Cách của các vị này là sự mở rộng định lý Sylow cho các nhóm giải được, có lẽ anh Mad cũng biết về phần nhóm con Hall và Carter cùng các định lý liên quan nhỉ, em cũng chỉ bắt chước cách chứng minh các định lý mà họ đã làm thôi nhưng vì các nhóm mà họ đề cập đều là solvable group, để em thử lại xem có nhất thiết cần điều kiện solvable trong vấn đề của anh không sau đó hãy send cách giải của anh nhé

Thầy của nemo có đưa nemo 3 cuốn sách group theory chưa? Anh có một vài ebooks về group theory, trong đó có cuốn theory of groups of finite orders của cụ Burnside (thầy anh nói là hay, anh chưa đọc), send nemo ha 

Thầy mới đưa hai cuốn đó là cuốn Algebra của Hungerford Thomas.W và Field and Galois's theory của Morandi nhưng cuốn này em chưa học tới vì mới chập chững ở group theory mà Thú thực em chỉ nhìn cái mác McGraw-Hill và Springer Verlag là mượn thôi chứ cũng không ngộ được hết cái hay của những cuốn sách đó.

Anh có một vài ebooks về group theory, trong đó có cuốn theory of groups of finite orders của cụ Burnside (thầy anh nói là hay, anh chưa đọc), send nemo ha 

Thế thì còn gì bằng ạ, em đang phài tìm đề tài thuyết trình về group theory (bằng tiếng Anh) nếu anh gửi được cho em thì tốt quá

[madness]

Đây là chứng minh cho định lý đã thảo luận với nemo. Chứng minh này có trong cuốn của Rotman

Theorem 1: If the order of http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G is http://dientuvietnam...imetex.cgi?p^sm, then http://dientuvietnam...ex.cgi?p|(N_r-1), where http://dientuvietnam...mimetex.cgi?N_r is the number of subgroups of order http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^r in http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G, and http://dientuvietnam...ex.cgi?0<r<s 1.

Proof: We can assume http://dientuvietnam...mimetex.cgi?s>1 and prove by induction.

For http://dientuvietnam...imetex.cgi?r=1: (Hint) Let http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Z_p act on http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X={(g_1,g_2,...,g_p)|g_1g_2...g_p=1}
For http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r>1:
Fix a subgroup http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1}, let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K_1,...,K_a be subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^r in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G such that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H is contained in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K_i, so we know that H is a normal subgroup of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K_i.
Thus, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K_i is contained in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N_G(H), the normalizer of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G.
So http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a equal the number of subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N_G(H)/H, and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a is congruent to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1 mod http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p.

Fix a subgroup http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^r, let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_1,...,H_b be subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1} in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G such that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K contains in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_j, so we know that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_j is a normal subgroup of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K.
Thus, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_1H_2=K and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|D|=p^{r-2}, where http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D is the intersection of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_1 and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_2. Therefore, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|K/D|=p^2 and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K/D is abelian.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K/D ~ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K/D has http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p+1 subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p, and these subgroups correspond one-to-one with the subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1} contained in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A and containing http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D.
If http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_j is not in this list http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D is not contained in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_j, let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E be the intersection of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_1 and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_j. Then we get another list of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p+1 subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1} and contain http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K, and this list intersects the old list only at http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K_1(=E.D).
So http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b equal the number of subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1} in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K, and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b is congruent to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1 mod http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p.
We also know that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Bigsum_{i=1}^{n_{r-1}}{a_i}=\Bigsum_{j=1}^{\n_r}{b_j}, so http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_r is congruent to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_{r-1} mod http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p, and by the induction hypothesis, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_r must be congruent to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1 mod http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p.

Theorem 2: If the order of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G is http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^s, then http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?NN_r is the number of normal subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^r in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G, and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0<r<s+1.

Proceed similarly to the proof above, except that in the case http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|K|=p^r, we let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G act on the set http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X={H_1,...,H_b} by conjugation action.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b=|X| is congruent to the http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|X^G| (mod http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p), where http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X^G is the number of points in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X that are fixed by http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g for all http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G.
We also know that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X^G is the set of subgroups http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1} in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K such that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H is normal in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G. The theorem thus follows.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nemo: 30-10-2005 - 09:12

[nemo]

Em thêm Latex vào trong bài viết của anh Madness để tiện theo dõi và cũng là để in ra đọc cho tiện vì dạo này em bận quá .

[TurnOverTortoise]

Đây đúng là một kiến thức thú vị về nhóm hữu hạn. Mình đang có một thắc mắc nhờ các bạn giải đáp giúp mình nhé.
Trong nhóm có cấp hữu hạn. Hai phần tử a, b có bậc là n<m.
Trong trường hợp n,m đều là số nguyên tố thì mình chứng minh được a+b có bậc là nm.
Trong trường hợp (n,m)=1 thì mình chưa thể chứng minh được a+b có bậc là nm.
Trong trường hợp $m\vdots n$ thì a+b có bậc là m.
Các bạn lưu ý giùm là: Nhóm mà mình nói đến là nhóm aben cộng tính, mình phân biệt giữa cấp và bậc như sau: cấp của một nhóm là số phần tử của nhóm đó, một phần tử a được gọi là có bậc n nếu na=e, $ka\neq e,\forall 1\leqslant k< n$.
mình lấy một ví dụ để các bạn hiểu rõ ý của mình hơn nhé. Ví dụ trong $\mathbb{Z}_{12}=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \right \}$ các phần tử phân theo bậc như sau:
+ Bậc 1: 0

+ Bậc 2: 6
+ Bậc 3: 4, 8
+ Bậc 4: 3,9
+ Bậc 6: 2,10
+ Bậc 12: 1,5,7,11
* Nếu các bạn lấy phần tử nằm trong lớp bậc 2 cộng với phần tử nằm trong lớp bậc 3 thì được một phần tử có bậc 6.
* Nếu các bạn lấy phần tử nằm tròn lớp bậc 3 cộng với phần tử nằm trong lớp bậc 4 thì được một phần tử có bậc 12.
Nếu các bạn có tài liệu về vấn đề này thì chỉ giúp mình nhé.