Chủ đề này có 2 trả lời

[abstract]

1)Cho 2 bộ n số thực
$ a_{i}$ với $i=1..n$
$b_{i}$ với $i=1..n$
$\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} ^{2}= \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i} ^{2}=1$
$ \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=0$
CMR $( \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i})^{2} +( \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i})^{2} \leq n$

2)Cho $a,b,c>0,a+b+c=3$. CMR
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq a^{2} b^{2} c^{2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-03-2012 - 17:44

[kainguyen]

2)Cho $a,b,c>0,a+b+c=3$. CMR
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq a^{2} b^{2} c^{2} $

Biến đối bđt đã cho về dạng:

$(a+b+c)^3(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq 27 a^{2} b^{2} c^{2} $

rồi làm giống bài này:

http://diendantoanho...showtopic=74294

[Poseidont]

2)Cho $a,b,c>0,a+b+c=3$. CMR
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq a^{2} b^{2} c^{2} $

Đối với bài này phải xét hai trường hợp vì đâu biết a,b,c như thế nào
TH1: $a>b+c\Rightarrow b+c-a< 0$; $a+b-c>0$ ;$c+a-b>0$
Nên VT của BĐT là một sso âm. VP dương,
$\Rightarrow \sum (a+b-c)<a^2b^2c^2$
TH2 $a\leq b+c\Rightarrow b+c-a\geq 0$ ;$a+b-c> 0$; $c+a-b>0$
Đặt $b+c-a=x ; a+b-c=y; c+a-b=z$
$\Rightarrow x+y+z=a+b+c=3$
BĐT$\Leftrightarrow [\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}]^{2}\geq xyz$
Mặt khác $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)= \frac{8}{3}(xy+yz+xz)$
$\Rightarrow [\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}]^{2}\geq (\frac{xy+yz+xz}{3})^{2}\geq \frac{3xyz(x+y+z)}{9}=xyz$
Từ hai trường hợp trên suy ra điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 20-06-2012 - 09:32