Chủ đề này có 14 trả lời

[baby milo]

Tìm tất cả các hàm số $ f: R \to R$ thỏa mãn đk:
$ f(x+y)+f(x-y)-2f(x).f(1+y)=2xy(3y-x^2), \forall x,y \in R$

[tuan101293]

thay y=0 suy ra f(1)=1
thay x=1 suy ra f(1+y)+f(1-y)-2f(1+y)=2y(3y-1)
thay y=-y suy ra f(1+y)-f(1-y)=2y(3y+1)
cộng 2 cái lại suy ra 0=6y^2 suy ra y=0
suy ra SAI ĐỀ

[baby milo]

Thanks anh Tuấn nhé, đúng là sai đề rùi! Thảo nào làm mãi ko ra. Anh giúp em bài này nữa nhé:
Tìm $f:R \to R$ thỏa mãn:
$ \left\{\begin{array}{l}f(-x)=-f(x) \forall x \in R\\f(x+1)=f(x)+1 \forall x \in R \\ f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2} \forall x \neq 0 \end{array}\right. $
latex lỗi r�#8220;i thì phải, đánh mà nó ko hiện ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baby milo: 20-02-2010 - 09:55

[daihiep]

Tính f($\dfrac{x+1}{x}$) theo 2 cách suy ra f(x)=x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daihiep: 20-02-2010 - 16:02

[tuan101293]

Bài sau thì quen rồi
$\dfrac{f(x)}{x^2}+1=f(\dfrac{1}{x})+1=f(\dfrac{x+1}{x})=\dfrac{f(\dfrac{x}{x+1})}{(\dfrac{x}{x+1})^2}=\dfrac{f(1-\dfrac{1}{x+1})}{(\dfrac{x}{x+1})^2}=\dfrac{1-f(\dfrac{1}{x+1})}{(\dfrac{x}{x+1})^2}=\dfrac{1-\dfrac{f(x+1)}{(x+1)^2}}{(\dfrac{x}{x+1})^2}=\dfrac{(x+1)^2-f(x+1)}{x^2}$
suy ra f(x)=x với mọi x khác 0
cho x=0 vào cái đầu suy ra f(0)=0
f(x)=x với mọi x

[baby milo]

E ko hiểu lắm, tại sao đến chỗ
$\dfrac{f(x)}{x^2}+1=\dfrac{(x+1)^2-f(x+1)}{x^2}$
lại suy ra f(x)=x với mọi x khác 0 nhỉ?
E hỏi thêm bài này luôn nhé:
Tìm hàm $ f: R \to R$ thỏa mãn $ f(3x-1)=f(2x)+x-1 \forall x \in R$
Em mới học pt hàm, thấy nó khó hiểu, mong anh thông cảm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baby milo: 24-02-2010 - 17:54

[Toanlc_gift]

Tìm tất cả các hàm số $ f: R \to R$ thỏa mãn đk:
$ f(x+y)+f(x-y)-2f(x).f(1+y)=2xy(3y-x^2), \forall x,y \in R$

thay y=0 suy ra f(1)=1
thay x=1 suy ra f(1+y)+f(1-y)-2f(1+y)=2y(3y-1)
thay y=-y suy ra f(1+y)-f(1-y)=2y(3y+1)
cộng 2 cái lại suy ra 0=6y^2 suy ra y=0
suy ra SAI ĐỀ

bài này không phải sai đề,chỉ là không tồn tại hàm số thỏa mãn thôi
giải thử phát ^^!
giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn
thay $y=0\Rightarrow f(1)=1$hoặc $f(x)=0$,trường hợp $f(x)=0$không thỏa mãn nên $f(1)=1$
từ giả thiết,thay $y=1\Rightarrow f(x+1)+f(x-1)-2f(x)f(2)=2x(3-{{x}^{2}})$
cũng từ giả thiết,thay $y=-1\Rightarrow f(x-1)+f(x+1)-2f(x)f(0)=2x(3+{{x}^{2}})$
trừ từng vế hai đẳng thức trên suy ra:
$f(x)(f(0)-f(2))=2{{x}^{3}}$(1)
từ (1) thay $x=1$suy ra $f(0)-f(2)\ne 0$
do đó có thể viết (1) lại thành: $f(x)=t{{x}^{3}}$
thay $x=1\Rightarrow t=1\Rightarrow f(x)={{x}^{3}}$
thử lại không thỏa mãn,vậy không tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 26-02-2010 - 20:37

[tuan101293]

E ko hiểu lắm, tại sao đến chỗ
$\dfrac{f(x)}{x^2}+1=\dfrac{(x+1)^2-f(x+1)}{x^2}$
lại suy ra f(x)=x với mọi x khác 0 nhỉ?
E hỏi thêm bài này luôn nhé:
Tìm hàm $ f: R \to R$ thỏa mãn $ f(3x-1)=f(2x)+x-1 \forall x \in R$
Em mới học pt hàm, thấy nó khó hiểu, mong anh thông cảm.

Cái đoạn trên thì em chú ý là f(x+1)=f(x),em thay vào giải là ok
Bài sau thì làm thế này :
Đặt g(x)=f(x)-x thì
g(3x-1)=g(2x)
Đặt g(x)=l(x-2)
suy ra l(3x)=l(2x)
suy ra $l(x)=l(\dfrac{3x}{2})$
đây là hàm nhân tính tuần hoàn chu kì 3/2.
đáp số f(x)=x+l(x-2) trong đó l(x) là hàm nhân tính tùy ý tuần hoàn chu kì 3/2.

[baby milo]

Oh! Em hiểu rùi! Anh có thể lấy ví dụ cho em vài bài cũng dùng hàm phụ như trên đc ko ạ?

[tuan101293]

Ví dụ bài này :
f:R vào R
$f(\dfrac{1}{2-x})=2f(x)-3$

[baby milo]

Ví dụ bài này :
f:R vào R
$f(\dfrac{1}{2-x})=2f(x)-3$

Em nghĩ mãi ko ra, đi hỏi anh của em thì anh ý bảo là hỏi lại anh xem có đk f(x) liên tục ko, nếu có thì dùng phương pháp giới hạn. Thế f(x) có liên tục ko anh?

[An Infinitesimal]

Ví dụ bài này :
f:R vào R
$f(\dfrac{1}{2-x})=2f(x)-3$

$y_1=x$
$y_{n+1}=\dfrac{1}{2-y_n}$
CM $y_n$ tuần hoàn.

$y_2=\dfrac{1}{2-x}\\y_3=\dfrac{x}{1-x}\\y_4=\dfrac{1-x}{2-3x}\\y_5=2-\dfrac{1}{x}\\y_6=x=y_1$

Từ hệ thứ trên , cùng gt đc một hệ tìm đc $f(x)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 08-03-2010 - 18:16

[baby milo]

Vanchanh123 sai rồi , đây nhé:
$ y_3=\dfrac{1}{2-y_2}=\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2-x}}= \dfrac{2-x}{3-2x}$
chứng minh bằng quy nạp, có thể thấy $y_{n+2}= \dfrac{n+1-nx}{n+2-(n+1)x} $ nên dãy này ko tuần hoàn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baby milo: 08-03-2010 - 15:05

[An Infinitesimal]

Vanchanh123 sai rồi , đây nhé:
$ y_3=\dfrac{1}{2-y_2}=\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2-x}}= \dfrac{2-x}{3-2x}$
chứng minh bằng quy nạp, có thể thấy $y_{n+2}= \dfrac{n+1-nx}{n+2-(n+1)x} $ nên dãy này ko tuần hoàn.

việc tính toán tôi thường tính sai.
Huhu, nhưng đừng gỏ đầu tui , đau lắm

[tuan101293]

f(x) ko cần liên tục đâu em,bài này chỉ đổi biến đơn thuần thôi
Thay x=1 suy ra f(1)=3
Đặt $\dfrac{1}{x-1}=t$
khi đó ta được $f(1+\dfrac{1}{t-1})=2f(1+\dfrac{1}{t})-3$
đặt $g(x)=f(1+\dfrac{1}{x})-3$
suy ra $g(t-1)=2g(t)$ đặt $g(t)=l(t)*2^{-t}$ suy ra
l(t-1)=l(t).Đến đây em chọn hàm tuần hoàn tùy í có chu kì 1 là ok

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 10-03-2010 - 09:49
Đánh dốt,ehhe