Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức!


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
nvg58

nvg58

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm max của
$ \dfrac{xy}{\sqrt{z+xy}}+\dfrac{yz}{\sqrt{x+yz}}+\dfrac{zx}{\sqrt{y+zx}}$
abstract làm được chứ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nvg58: 17-02-2010 - 20:05


#2
abstract

abstract

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm max của
$ \dfrac{xy}{\sqrt{z+xy}}+\dfrac{yz}{\sqrt{x+yz}}+\dfrac{zx}{\sqrt{y+zx}}$
abstract làm được chứ?

De y: $z+xy=(z+x)(z+y) \Rightarrow \dfrac{xy}{\sqrt{z+xy}} \leq \dfrac{1}{2}( \dfrac{xy}{z+x}+ \dfrac{xy}{z+y})$
Cong 3 cai lai duoc $LHS \leq \dfrac{x+y+z}{2}= \dfrac{1}{2}$
Minh tuong ban bao bai nay: $\sum \dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 17-02-2010 - 20:43

Đã mang tiếng ở trong trời đất
Phải có danh gì với núi sông


#3
nvg58

nvg58

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

De y: $z+xy=(z+x)(z+y) \Rightarrow \dfrac{xy}{\sqrt{z+xy}} \leq \dfrac{1}{2}( \dfrac{xy}{z+x}+ \dfrac{xy}{z+y})$
Cong 3 cai lai duoc $LHS \leq \dfrac{x+y+z}{2}= \dfrac{1}{2}$
Minh tuong ban bao bai nay: $\sum \dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}$


Lời giải của mình cho bài bạn nói đến :
Đặt $S=\sum \dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}$
$ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}=\dfrac{xy}{\sqrt{2y(x+z)}}\leq\dfrac{1}{2}(\dfrac{x}{2}+\dfrac{xy}{x+z})$
rồi tương tự với các số hạng khác ta có:
$ \dfrac{1}{\sqrt{2}}S\leq\dfrac{1}{2}(\dfrac{x}{2}+\dfrac{xy}{x+z}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{yz}{y+x}+\dfrac{z}{2}+\dfrac{zx}{z+y})$
mặt khác có:
$\dfrac{xy}{z+x}+\dfrac{yz}{y+x}+\dfrac{zx}{z+y}\leq\dfrac{(x+y+z)(y+z+x)}{2(x+y+z)}=\dfrac{1}{2}$
Vậy $ S_{max}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}.$

#4
abstract

abstract

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết

$\dfrac{xy}{z+x}+\dfrac{yz}{y+x}+\dfrac{zx}{z+y}\leq\dfrac{(x+y+z)(y+z+x)}{2(x+y+z)}=\dfrac{1}{2}$

sai rui, BDT tren ko dung dau
try
a=0,1
b=0,2
c=0,7
bai nay phai dung cauchy-schwarz "dieu" hon mot chut :D :D
Đã mang tiếng ở trong trời đất
Phải có danh gì với núi sông


#5
Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết
$P = \sum \dfrac{xy}{\sqrt{xy + yz}} = \sum \sqrt{\dfrac{x + y}{2}} \sqrt{\dfrac{2x^{2}y}{(x + y)(x + z)}}$

$\Rightarrow P^{2} \leq \sum (\dfrac{x + y}{2}) \sum \dfrac{2x^{2}y}{(x + y)(x + z)} = \dfrac{2 \sum (y + z)x^{2}y}{(x + y)(y + z)(z + x)} \leq \dfrac{1}{2}$

Vì $(x + y + z)(x + y)(y + z)(z + x) \geq 4 \sum (y + z)x^{2}y$

$\Leftrightarrow \sum xy(x - y)^{2} \geq 0$, đúng.

Vậy: $\sum \dfrac{xy}{\sqrt{xy + yz}} \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

"God made the integers, all else is the work of men"





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh