Chủ đề này có 7 trả lời

[Chuong Nguyen Minh]

Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác chứng minh:
$\dfrac{ab}{c(c+a)}+\dfrac{bc}{a(a+b)}+\dfrac{ca}{b(b+c)} \ge \dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chuong Nguyen Minh: 21-02-2010 - 20:23

[nvg58]

Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác chứng minh:
$\dfrac{ab}{c(c+a)}+\dfrac{bc}{a(a+b)}+\dfrac{ca}{b(b+a)} \ge \dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c} $

là $\dfrac{ca}{b(b+a)$ hay $ \dfrac{ca}{b(b+c) $

[Chuong Nguyen Minh]

b+c đó anh

[Messi_ndt]

Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác chứng minh:
$\dfrac{ab}{c(c+a)}+\dfrac{bc}{a(a+b)}+\dfrac{ca}{b(b+c)} \ge \dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c} $

Đây là lời giải:(Khá Hay)
$ Ine \Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{c(c+a)}+ \sum \dfrac{c}{c+a} \geq 3 \Leftrightarrow \sum \dfrac{ab+c^2}{c(c+a)} \geq 3 $ (cộng vào 2 vế c/c+a ;...)
Dùng AM-GM:
$\sum{\dfrac{ab+{{c}^{2}}}{c(c+a)}}\ge 3\text{ }\sqrt[3]{\dfrac{\sum{({{a}^{2}}+bc)}}{\sum{(a(}a+b)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} +ab+bc+ca}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} +ab+bc+ca}}=3$
Không cần điều kiện a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác.
Mặc dù cách chưng minh rất đơn giãn nhưng mình thấy rất hay.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 24-02-2010 - 18:34

[Chuong Nguyen Minh]

Đây là lời giải:(Khá Hay)
$ Ine \Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{c(c+a)}+ \sum \dfrac{c}{c+a} \geq 3 \Leftrightarrow \sum \dfrac{ab+c^2}{c(c+a)} \geq 3 $ (cộng vào 2 vế c/c+a ;...)
Dùng AM-GM:
$\sum{\dfrac{ab+{{c}^{2}}}{c(c+a)}}\ge 3\text{ }\sqrt[3]{\dfrac{\sum{({{a}^{2}}+bc)}}{\sum{(a(}a+b)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} +ab+bc+ca}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} +ab+bc+ca}}=3$
Không cần điều kiện a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác.
Mặc dù cách chưng minh rất đơn giãn nhưng mình thấy rất hay.

Cộng thêm vào 2 vế rồi sao hở bạn ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 24-02-2010 - 18:36

[Messi_ndt]

Cộng thêm vào 2 vế rồi sao hở bạn ?

Không biết sao mà nó lại ko hiện lên nưa nhỉ.
Cái chổ InValid đó là AM-GM
$ \dfrac{ab+c^2}{c(c+a)} + \dfrac{bc+a^2}{a(a+b)} + \dfrac{ca+b^2}{b(b+c)} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}{a(a+b)b(b+c)c(c+a)}} $
Đến đây cần chứng minh cho $ (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) \geq abc(a+b)(b+c)(c+a)$

Bạn nhân ra thì thấy liền.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi_ndt: 24-02-2010 - 18:22

[Chuong Nguyen Minh]

Không biết sao mà nó lại ko hiện lên nưa nhỉ.
Cái chổ InValid đó là AM-GM
$ \dfrac{ab+c^2}{c(c+a)} + \dfrac{bc+a^2}{a(a+b)} + \dfrac{ca+b^2}{b(b+c)} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}{a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)}} $
Đến đây cần chứng minh cho $ (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) \geq a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)$

Bạn nhân ra thì thấy liền.

Hình như phải chứng minh cái này chớ
$ (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) \geq a(a+b)b(b+c)c(c+a)$

[Messi_ndt]

Hình như phải chứng minh cái này chớ
$ (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) \geq a(a+b)b(b+c)c(c+a)$

Dúng rùi.Gõ nhầm.Bạn nhân ra rùi AM-GM là OK!