Chủ đề này có 5 trả lời

[Pirates]

Cho số nguyên dương $n$ và $x_1, ... , x_n$ là các số nguyên dương khác nhau. Tìm GTNN của:

$\dfrac{x_1^{3} + ... + x_n^{3}}{x_1 + ... + x_n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 27-02-2010 - 12:56

[maths_lovely]

EM nghĩ thế này hên xui
$ = x_{1}+.......+x_{n}$ rồi xái cosi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maths_lovely: 26-02-2010 - 22:50

[nguyen thai phuc]

EM nghĩ thế này hên xui
$ = x_{1}+.......+x_{n}$ rồi xái cosi

Sai! Vì đây là các số nguyên dương khác nhau=> ko xài AM-GM

[apollo_1994]

Cho số nguyên dương $n$ và $x_1, ... , x_n$ là các số nguyên dương khác nhau. Tìm GTNN của:

$H=\dfrac{x_1^{3} + ... + x_n^{3}}{x_1 + ... + x_n}$

$x_1^{3} + ... + x_n^{3}=A$
$x_1 + ... + x_n=B$

Đặt $H_0 = \dfrac{1^3+2^3+...+n^3}{1+2+...+n}$
Giả sử $H'= \dfrac{A+(m_1^3+m_2^3+...+m_k^3)-(x_{i_{1}}^3+x_{i_{2}}^3+...+x_{i_k}^3) }{B+(m_1+m_2+...+m_k)-(x_{i_1}+x_{i_2}+...+x_{i_k})} $ $(k \leq n)$,$ i_j$ chạy trong $ [1;n]$
với $m_j>x_{i_j},min(m_j)>n$,các $m_j$ phân biệt
Ta c/m $H'>H_0$
Nhân chéo ta có điều trên tương đương với $\sum\limits_{j=1}^{k}(B(m_j^2+m_jx_{i_j}+x_{i_j}^2)-A)>0$
Đúng do $B(m_j^2+m_jx_{i_j}+x_{i_j}^2)>Bm_j^2>Bn^2>A$
Vậy $minH=H_0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi apollo_1994: 27-02-2010 - 21:38

[terenceTAO]

$x_1^{3} + ... + x_n^{3}=A$
$x_1 + ... + x_n=B$

Đặt $H_0 = \dfrac{1^3+2^3+...+n^3}{1+2+...+n}$
Giả sử $H'= \dfrac{A+(m_1^3+m_2^3+...+m_k^3)-(x_{i_{1}}^3+x_{i_{2}}^3+...+x_{i_k}^3) }{B+(m_1+m_2+...+m_k)-(x_{i_1}+x_{i_2}+...+x_{i_k})} $ $(k \leq n)$,$ i_j$ chạy trong $ [1;n]$
với $m_j>x_{i_j},min(m_j)>n$,các $m_j$ phân biệt
Ta c/m $H'>H_0$
Nhân chéo ta có điều trên tương đương với $\sum\limits_{j=1}^{k}(B(m_j^2+m_jx_{i_j}+x_{i_j}^2)-A)>0$
Đúng do $B(m_j^2+m_jx_{i_j}+x_{i_j}^2)>Bm_j^2>Bn^2>A$
Vậy $minH=H_0$

còn cách khac ko ạ


______________________
xin lỗi anh sơn

[Pirates]

còn cách khac ko ạ

Cho $x_k = k (1 \leq k \leq n) \Rightarrow$ GTNN là $\dfrac{n(n + 1)}{2}$.

Vậy: $\dfrac{x_1^{3} + ... + x_n^{3}}{x_1 + ... + x_n} \geq \dfrac{n(n + 1)}{2}$

Ta cm: $(x_1^{3} + ... + x_n^{3}) \geq (x_1 + ... + x_n)^{2}$

Giả sử $x_1 < ... < x_n$. Dễ thấy với $n = 1$. Với $n > 1$ và giả sử $x_1^{3} + ... + x_{n - 1}^{3} \geq (x_1 + ... + x_{n - 1})^{2}$.

Ta có: $\sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^{3} - (\sum\limits_{k = 1}^{n} x_k)^{2} = [ \sum\limits_{k=1}^{n - 1} x_k^{3} - (\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} x_k)^{2} ] + x_n(x_n^{2} - x_n - 2\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} x_n)$

Từ đk trên, $[ \sum\limits_{k=1}^{n - 1} x_k^{3} - (\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} x_k)^{2} ] \geq 0$. Chú ý $x_n \geq n$ và $x_k \leq x_n - (n - k)$ khi $1 \leq k < n$

Vậy: $(x_n^{2} - x_n - 2\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} x_n) \geq x_2^{n} - x_n - 2\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} (x_n - n + k)$

$\geq x_n^{2} - (2n - 1)x_n + n(n - 1)$

$\geq (x_n - (n - 1))(x_n - n) \geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 03-03-2010 - 18:06