Chủ đề này có 5 trả lời

[Nguyễn Minh Cường]

$a+b+c=0 $CMR
$\dfrac{a^2b^2c^2 }{4} + \dfrac{(ab+bc+ca)^3}{27} \leq 0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Minh Cường: 28-02-2010 - 20:36

[Messi_ndt]

$a+b+c=0 $CMR
$\dfrac{a^2b^2c^2 }{4} + \dfrac{(ab+bc+ca)^3}{27} \leq 0 $

Bài này hay.Dấu = xảy ra tại a=b và c=-a-b và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi_ndt: 01-03-2010 - 10:18

[abstract]

$a+b+c=0 $CMR
$\dfrac{a^2b^2c^2 }{4} + \dfrac{(ab+bc+ca)^3}{27} \leq 0 $

Đặt $a+b+c=p=0,abc=r$
Dễ thấy do $3(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2=0$ nên đặt $ab+bc+ca=-\dfrac{|q|^2}{3}=\dfrac{p^2-|q|^2}{3}$
BĐT cần cm tương đương với $\dfrac{r^2}{4} \leq \dfrac{|q|^6}{729}$
Mặt khác theo bổ đề VQBC: $r \leq \dfrac{(p-|q|^2)(p+2|q|)}{27}=\dfrac{-2|q|^3}{27} \Rightarrow \dfrac{r^2}{4} \leq \dfrac{|q|^6}{729} \Rightarrow Q.E.D$
Dấu bằng khi $(a,b,c) \equiv (t,t,-2t)$
PS:ABC xử đẹp bài này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 01-03-2010 - 10:20

[Messi_ndt]

$a+b+c=0 $CMR
$\dfrac{a^2b^2c^2 }{4} + \dfrac{(ab+bc+ca)^3}{27} \leq 0 $

Dùng ABC thì khá đơn giãn.
Cách sơ cấp nhất là:
Trong 3 số $ a,b,c $ có ít nhất hai số cùng dấu (Dirichlet).Không mất tính tổng quát giã sử $ a,b $ cùng dấu.
Khi đó:Nếu cùng dương:$ (a+b)^4 \geq 2^4.a^2b^2.$,Nếu cùng âm:$(a+b)^4 =(-a-b)^4 \geq 2^4.(-a)^2(-b)^2=16a^2b^2 $
Từ $ a+b+c=0 \Leftrightarrow -( ab+bc+ca)= \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2} \Rightarrow BDT \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^3 \geq 54a^2b^2c^2.$
$ (a^2+b^2+c^2)^3 \geq (\dfrac{(a+b)^2}{2}+(a+b)^2)^3= \dfrac{27(a+b)^6}{8} \geq (a+b)^2 \dfrac{27.2^4a^2b^2}{8} = \dfrac{27.2^4a^2b^2c^2}{8} =54a^2b^2c^2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi_ndt: 01-03-2010 - 17:56

[Nguyễn Minh Cường]

Bài này chỉ cần xài AM-GM
Tồn tại 2 số cùng dấu,giả sử là a,b
do$ a+b+c=0$
$\Rightarrow -ab-bc-ca= \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2} $
$\Rightarrow \dfrac{(-ab-bc-ca)^3}{27} = \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^3}{216} $
Ta chỉ cần cm$ \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^3}{216} \geq \dfrac{a^2b^2c^2}{4} $
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 3 \sqrt[3]{2a^2b^2c^2} $
BĐT này dễ dàng cm.
$a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(a+b)^2 \geq a^2+b^2+|ab|+|ab|+ \dfrac{(a+b)^2}{4} + \dfrac{(a+b)^2}{4} \geq 6 \sqrt[6]{\dfrac{a^4b^4(a+b)^4}{16}} =3 \sqrt[3]{2a^2b^2c^2} $
$\Rightarrow DPCM$
Không để ý,cách mình có vẻ giống cách messi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Minh Cường: 06-03-2010 - 12:29

[Nguyễn Minh Cường]

Mình post để cấp 2 làm mà các bạn cấp 3 cứ giành làm ko hà