Đến nội dung

Hình ảnh

$d$ qua trực tâm $H$, $ d_{a}=D_{d_a}(BC), H \in l // BC$, $d_{a} \cap l = A'$. Cm $A',B',C'$ thẳng hàng

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
abstract

abstract

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết

1)Cho tam giác $ABC$ và $d$ là đường thẳng qua trực tâm $H$. $ d_{a}$ là đối xứng $BC$ qua $d$ và $ d_{a}$ cắt đường thẳng qua $H$ song song $BC$ tại $A'$. Định nghĩa tương tự cho $B',C'$. CMR $A',B',C'$ thẳng hàng
Và nếu được thì thêm bài này nữa image004.gif
2)Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$. Hai đường thẳng $d$ và $d'$ bất kì qua $H$. $d$ cắt $AB,BC,CA$ tại $C',A',B'$ và $d'$ cắt $AB,BC,CA$ tại $C'',A'',B''$. Gọi tâm của $(HA'A''), (HB'B''),(HC'C'') $ là $ O_{1} , O_{2} , O_{3} $. $HO_{1} , HO_{2} , HO_{3} $ cắt $A'A'',B'B'',C'C''$ tại $M,N,P$. CMR: $M,N,P$ thẳng hàng

PS: Các bài trên liên quan đến đường thẳng Droz- Farny:
http://diendantoanho...showtopic=49167


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 23-06-2013 - 21:09

Đã mang tiếng ở trong trời đất
Phải có danh gì với núi sông


#2
malx

malx

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Lời giải cho bài 1

Gọi $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ là các điểm đối xứng của $A, B, C$ qua $d$

Dễ dàng chứng minh $H$ cũng là trực tâm của $\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$

Nếu gọi góc giữa đường thẳng $d$ và $BC$ là x và các góc trong của $\Delta ABC$ là $\angle A, \angle B, \angle C$ thì có thể tính được các góc:

 

$\angle B_{1}HC' = B-C-2x+90^{\circ}$

$\angle C'HA_{1} = A+C+2x-90^{\circ}$

$\angle A_{1}HB' = -2x-C+90^{\circ}$

$\angle B'HC_{1} = C-B+2x+90^{\circ}$

$\angle A'HC_{1} = 90^{\circ} -2x+B$

$\angle A'HB_1 = 90^{\circ} -2x-C$

 

Áp dung định luật sin trong các tam giác $\Delta B_{1}HC'$ và $\Delta HC'A_{1}$ sẽ thu được:

 

$\frac{B_{1}C'}{C'A_{1}}.\frac{cos(A+C+2x)}{cos(B-C-2x)} = \frac{cosB}{cosA}$
 

Tương tự có:

$\frac{A_{1}B'}{B'C_{1}}.\frac{cos(C-B+2x)}{cos(C+2x)} = \frac{cosA}{cosC}$

$\frac{A'C_{1}}{A'B_{1}}.\frac{cos(C+2x)}{cos(B-2x)} = \frac{cosC}{cosB}$

 

Nhưng vì $cos(A+C+2x) = cos(B-2x)$ and $cos(C-B+2x) = cos(B-C-2x)$

 

Sẽ có

$\frac{B_{1}C'}{C'A_{1}}.\frac{A_{1}B'}{B'C_{1}}.\frac{A'C_{1}}{A'B_{1}} = 1$

 

Điều này có nghĩa là là ba điểm $A', B', C'$ thẳnghàng theo Melenaus

 

Hình gửi kèm

  • g1.png





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh