Cho $a,b,c,d\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
$(a+bc)(b+ac)=5^d;a,b$ không chia hết cho 5.
Chứng minh $d$ chẵn.
Chứng minh $d$ chẵn.
Bắt đầu bởi tuoitrettc, 01-03-2010 - 15:55
#1
Đã gửi 01-03-2010 - 15:55
tuoitrettc
-
- Thành viên
-
- 15 Bài viết
Binh nhì
#2
Đã gửi 13-01-2016 - 18:37
ChinhLu
-
- Thành viên
-
- 38 Bài viết
Binh nhất
Cho $a,b,c,d\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:$(a+bc)(b+ac)=5^d;a,b$ không chia hết cho 5.Chứng minh $d$ chẵn.
Ta có thể viết $a+bc=5^m$ và $b+ac=5^n$ với $m,n$ là các số tự nhiên. Không mất tính tổng quát ta giả sử $m\geq n$. Từ hai phương trình vừa có ta suy ra được
$$b(c^2-1)=5^n(5^{m-n}c-1).$$
Ta có hai trường hợp:
TH1: $c=1$. Khi đó $m=n$ và $d$ là số chẵn.
TH2: $c>1$. Do $b$ không chia hết cho $5$ nên ta phải có $c^2-1$ chia hết cho $5^n$. Từ đó
$$c\geq 5^n-1.$$
Như vậy ta phải có $a=1, b=1, c=5^n -1$. Suy ra $d$ là số chẵn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 13-01-2016 - 18:37
- chanhquocnghiem, I Love MC, tronghoang23 và 6 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
