Chủ đề này có 12 trả lời

[anh qua]

Cho a,b,c la các số dương thỏa mãn abc=1. Cmr:
$\dfrac{1}{ab+b^{2}}+\dfrac{1}{bc+c^{2}}+\dfrac{1}{ac+a^{2}}\geq \dfrac{3}{2}$

[nguyen xuan huy]

Cho a,b,c la các số dương thỏa mãn abc=1. Cmr:
$\dfrac{1}{ab+b^{2}}+\dfrac{1}{bc+c^{2}}+\dfrac{1}{ac+a^{2}}\geq \dfrac{3}{2}$

Vế phải của bài này là 3/(abc+1).Bất đẳng thức trở thành:
1/b(1+a) +1/c(1+b) +1/a(1+c) lớn hơn hoăc bằng 3/(1+abc)
Trở về bài toán quen thuộc rồi.
nhân (1+abc) ra sẽ biết ngay,bài này có khá nhiều lời giải đấy,mình đang ở quán nét gần trường nên không đánh lời giải được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen xuan huy: 04-03-2010 - 17:47

[circleoflife]

VT là $\sum {\dfrac{1}{{b\left( {a + b} \right)}}} $ chứ đâu phải $\sum {\dfrac{1}{{b\left( {a + 1} \right)}}} $ đâu anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi circleoflife: 04-03-2010 - 19:03

[Curi Gem]

dùng schwars Vt $\dfrac{3}{ab+bc+ac+a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ 3/2
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Curi Gem: 05-03-2010 - 14:30

[anh qua]

bạn Curi Gem giải sai thì phải. Mọi người chém bài này đi, đây là một bài bên vuontoan.

[Curi Gem]

dùng schwars Vt $\dfrac{3}{ab+bc+ac+a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ 3/2
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Sai thật.Cái bdt đơn giản mà nhớ sai!>.<tệ thật.Chắc để suy nghĩ thêm.
học hành gì như con bò
Nhưng xài hướng đó chắc đúng chớ!Còn cái mẫu nữa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Curi Gem: 08-03-2010 - 23:17

[terenceTAO]

bài này mình giải như sau
vi abc=1 nên ta có thể đặt a=$\dfrac{x}{y}$
b=$\dfrac{y}{z}$
c=$\dfrac{z}{x}$
VT=$\dfrac{z^2}{xz+y^2}$+$\dfrac{x^2}{xy+z^2}$+$\dfrac{y^2}{yz+x^2}$

= $\sum$ $\dfrac{z^4}{z^3x+z^2x^2}$
áp dụng bất đẳng thức cauchy-shwarz và cauchy là xong
$\(z^4)$+$\(z^2x^2)$>=2z^3x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi terenceTAO: 09-03-2010 - 13:38

[nguyen thai phuc]

VT=$\dfrac{z^2}{xz+y^2}$+$\dfrac{x^2}{xy+z^2}$+$\dfrac{y^2}{yz+x^2}$

= $\sum$ $\dfrac{z^4}{z^3x+z^2x^2}$

CHỗ này sai rồi

[terenceTAO]

CHỗ này sai rồi

sai gì mình lần lượt nhân cả tử và mẫu với z^2,y^2,x^2 mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi terenceTAO: 10-03-2010 - 11:58

[nguyen thai phuc]

sai gì mình lần lượt nhân cả tử và mẫu với z^2,y^2,x^2 mà

Chú ý kĩ đi.Phải là thế này.
$ = \sum {\dfrac{{z^4 }}{{z^3 x + y^2 z^2 }}} $

[terenceTAO]

Chú ý kĩ đi.Phải là thế này.
$ = \sum {\dfrac{{z^4 }}{{z^3 x + y^2 z^2 }}} $

như thế chắc vẫn làm được

[Messi_ndt]

Cho a,b,c la các số dương thỏa mãn abc=1. Cmr:
$\dfrac{1}{ab+b^{2}}+\dfrac{1}{bc+c^{2}}+\dfrac{1}{ac+a^{2}}\geq \dfrac{3}{2}$

terenceTAO làm được thì post lên ,Spam làm gì những thứ vô bổ.
Bài này khá đơn giãn:
Đặt:$ a= \dfrac{x}{y} ;b= \dfrac{y}{z} ;c= \dfrac{z}{x} ;$
$ LSH = \sum \dfrac{x^2}{z^2+xy} \geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^3y+y^3z+z^3x} .$
$ \Rightarrow Ine \Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)^2 \geq 3 \sum x^2y^2 +3\sum x^3y \Leftrightarrow \sum (x^4+x^2y^2) + \sum x^4 \geq 3\sum x^3y $
$ \sum (x^4+x^2y^2) \geq 2\sum x^3y $Đúng vì AM-GM.Ta chỉ còn chứng minh:$\sum x^4 \geq \sum x^3y $ .$ x^4+x^4+x^4+y^4\geq 4x^3y \Rightarrow Q.E.D $

*********************************
terenceTAO thử làm bài này coi (cũng đơn giãn)
Cho a,b,c >0.$ \sum \dfrac{a}{\sqrt{b+c}} \geq \sqrt{\dfrac{3}{2}(a+b+c)} $
Và bài này anh mới sáng tác (khá đẹp)$ a,b,c \geq 1/2 ;and ;a+b+c=6 $.CMR:$ \sum \dfrac{a^2}{b+c} \geq \sum \dfrac{a}{b} .$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi_ndt: 14-03-2010 - 16:29

[1414141]

terenceTAO thử làm bài này coi (cũng đơn giãn)
Cho a,b,c >0.$ \sum \dfrac{a}{\sqrt{b+c}} \geq \sqrt{\dfrac{3}{2}(a+b+c)} $

$LHS^2\left (2ab+2bc+2ac) \ge (a+b+c)^3$

mặt khác $ab+bc+ac \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3} $


cho các số a,b,c dương chứng minh

$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$