Tìm $ Max: S=abc(a^2+m^2)(b^2+n^2)(c^2+p^2) $
#1
Đã gửi 13-03-2010 - 11:21
Tìm $ Max: S=abc(a^2+m^2)(b^2+n^2)(c^2+p^2) $
2)Cho $ a,b,c >0;a+b+c=3;\dfrac{m}{m+1+a}+\dfrac{n}{n+1+b} \leq \dfrac{p}{p+1+c} .$và $ m,n,p=const \in R^+ $
Tìm $ Min P=abc $
3)A,B,C là 3 góc ABC đo = radian và $ 2A+3B= \pi $
CMR: $ a+b< \dfrac{5}{4} .c $
#2
Đã gửi 04-07-2014 - 08:37
3)A,B,C là 3 góc ABC đo = radian và $ 2A+3B= \pi $
CMR: $ a+b< \dfrac{5}{4} .c $
Từ điều kiện ta tính được $A=\frac{\pi }{2}-\frac{3B}{2}$ và $C=\frac{\pi }{2}+\frac{B}{2}$
Suy ra $sinA=sin\left ( \frac{\pi }{2}-\frac{3B}{2} \right )=cos\frac{3B}{2}=cos\frac{B}{2}\left ( 4cos^{2}\frac{B}{2}-3 \right )$ và $sinC=sin\left ( \frac{\pi }{2}+\frac{B}{2} \right )=cos\frac{B}{2}$
Áp dụng định lí sin, ta có
$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\Leftrightarrow \frac{a}{cos\dfrac{B}{2}\left ( 4cos^{2}\dfrac{B}{2}-3 \right )}=\frac{b}{2sin\dfrac{B}{2}cos\dfrac{B}{2}}=\frac{c}{cos\dfrac{B}{2}}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a}{4cos^{2}\dfrac{B}{2}-3}=\frac{b}{2sin\dfrac{B}{2}}=c$$
$$\Rightarrow c=\frac{a+b}{4cos^{2}\dfrac{B}{2}-3+2sin\dfrac{B}{2}}=\frac{a+b}{-4sin^{2}\dfrac{B}{2}+2sin\dfrac{B}{2}+1}$$
đặt $t=sin\frac{B}{2}$ do $\frac{B}{2}=\frac{\pi }{6}-\frac{A}{3}\Rightarrow 0<\frac{B}{2}<\frac{\pi }{6}\Rightarrow 0<sin\frac{B}{2}<\frac{1}{2}$
xét hàm số $f(t)=-4t^{2}+2t+1,t\in (0,\dfrac{1}{2})$, lập bảng biến thiên suy ra $f(t)\leq \dfrac{5}{4}$ (đẳng thức xảy ra ở $t=\dfrac{1}{4}$)
Do đó $a+b=f(t).c \leq \dfrac{5}{4}c$, đẳng thức ko xảy ra do $C>90^{\circ}$. Ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 04-07-2014 - 08:41
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh