Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giới hạn $$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt[3]{x+26}-\sqrt{8x+1}}{x-1}$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Tan Loi

Tan Loi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
Tính giới hạn sau khi x dần về 1
$ \dfrac{\sqrt[3]{x + 26} - \sqrt{8x + 1}} {x - 1}$

#2
canhochoi

canhochoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
Thêm -3 và + 3 trên tử là xong!

#3
Tan Loi

Tan Loi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
Mình rất cảm ơn vì gợi ý của bạn nhưng mình xin được nhờ bạn làm chi tiết hơn một chút nữa đi nhé vì mình vẫn chưa cảm nhận được lời giải

#4
inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết
Đặt $x-1=t \Rightarrow x = t + 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} t = 0$. Ta có:

$\dfrac{{\sqrt[3]{{x + 26}} - \sqrt {8x + 1} }}{{x - 1}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{t + 27}} - \sqrt {8t + 9} }}{t}$
$ = \dfrac{{\sqrt[3]{{t + 27}} - 3}}{t} - \dfrac{{\sqrt {8t + 9} - 3}}{t}$
$ = \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{t + 27}} - 3} \right)\left[ {\left( {\sqrt[3]{{t + 27}}} \right)^2 + 3\sqrt[3]{{t + 27}} + 9} \right]}}{{t\left[ {\left( {\sqrt[3]{{t + 27}}} \right)^2 + 3\sqrt[3]{{t + 27}} + 9} \right]}} - \dfrac{{\left( {\sqrt {8t + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {8t + 9} + 3} \right)}}{{t\left( {\sqrt {8t + 9} + 3} \right)}}$
$ = \dfrac{{t + 27 - 27}}{{t\left[ {\left( {\sqrt[3]{{t + 27}}} \right)^2 + 3\sqrt[3]{{t + 27}} + 9} \right]}} - \dfrac{{8t + 9 - 9}}{{t\left( {\sqrt {8t + 9} + 3} \right)}}$
$ = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt[3]{{t + 27}}} \right)^2 + 3\sqrt[3]{{t + 27}} + 9}} - \dfrac{8}{{\left( {\sqrt {8t + 9} + 3} \right)}}=g(x),$ với mọi $t \neq0$ khi x dần đến 1.

Khi đó, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt[3]{{x + 26}} - \sqrt {8x + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} g(t) = \dfrac{1}{{3^2 + 3.3 + 9}} - \dfrac{8}{{3 + 3}}=-\dfrac{35}{27}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 15-03-2010 - 10:03


#5
dehin

dehin

    Chém gió thần!

  • Thành viên
  • 733 Bài viết
Nhận thấy
Khi $ x--> 1 $ thì $ \sqrt[3]{x+26}=3 $ và $ \sqrt{8x+1}=3$
Đây là giới hạn 0/0.
Cách làm: thêm bớt 3 vào tử số : $ \sqrt[3]{x+26}-3 -(\sqrt{8x+1}-3)$
Tách ra làm 2 giới hạn $ \dfrac{\sqrt[3]{x+26}-3}{x-1} -\dfrac{\sqrt{8x+1}-3}{x-1}$
TÍnh giới hạn từng cái bằng cách nhân liên hợp là ra ngay!
Đây là pp thêm bớt hằng số phụ để khử dạng vô định , có trường hợp thêm bớt cả hàm số phụ!
Love Lan Anh !

#6
hoangnbk

hoangnbk
Giới thiệu vs bạn một bài dạng tương tự:
tìm giới hạn của :
$ A= \dfrac{\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+4x}.\sqrt[4]{1+6x}.\sqrt[5]{1+8x}-1}{x}$

#7
dehin

dehin

    Chém gió thần!

  • Thành viên
  • 733 Bài viết
Sử dụng đồng nhất thức
$ abcd-1= abc(d-1)+ab(c-1)+a(b-1)+a-1 $
Tách ra rồi tính từng chú bằng cách nhân liên hợp!
Love Lan Anh !

#8
inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết

Giới thiệu vs bạn một bài dạng tương tự:
tìm giới hạn của :
$ f(x)= \dfrac{\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+4x}.\sqrt[4]{1+6x}.\sqrt[5]{1+8x}-1}{x}$

Không biết bài này có phải do hoangnbk "chế" ra không nhỉ ? :(

Ta có:
$f_1 (x) = \dfrac{{\sqrt[5]{{1 + 8x}}\sqrt[4]{{1 + 6x}}.\sqrt[3]{{1 + 4x}}.\sqrt {1 + 2x} - \sqrt[4]{{1 + 6x}}.\sqrt[3]{{1 + 4x}}.\sqrt {1 + 2x} }}{x}$
$ = 8\sqrt[4]{{1 + 6x}}.\sqrt[3]{{1 + 4x}}.\sqrt {1 + 2x} \dfrac{{\sqrt[5]{{1 + 8x}} - 1}}{{8x}}$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f_1 (x) = \dfrac{8}{5}$
$f_2 (x) = \dfrac{{\sqrt[4]{{1 + 6x}}.\sqrt[3]{{1 + 4x}}.\sqrt {1 + 2x} - \sqrt[3]{{1 + 4x}}.\sqrt {1 + 2x} }}{x}$
$ = 6\sqrt[3]{{1 + 4x}}.\sqrt {1 + 2x} \dfrac{{\sqrt[4]{{1 + 6x}} - 1}}{{6x}}$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f_2 (x) = \dfrac{3}{2}$
$f_3 (x) = \dfrac{{\sqrt[3]{{1 + 4x}}.\sqrt {1 + 2x} - \sqrt {1 + 2x} }}{x} = 4\sqrt {1 + 2x} \dfrac{{\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{{4x}}$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f_3 (x) = \dfrac{4}{3}$
$f_4 (x) = \dfrac{{2(\sqrt {1 + 2x} - 1)}}{{2x}}$
Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \dfrac{8}{5} + \dfrac{3}{2} + \dfrac{4}{3} + 1 = \dfrac{{113}}{{30}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-03-2010 - 22:40


#9
dehin

dehin

    Chém gió thần!

  • Thành viên
  • 733 Bài viết
Thêm một số bài giới hạn nè!
1. $ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{{{2^2}}}...\cos \dfrac{x}{{{2^n}}}(x \ne 0)$
2. $ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + {a^x}}}{{{x^2} + x}}$
3. $ \mathop {\lim }\limits_{x \to o} \dfrac{{\sqrt[3]{{1 + {{\tan }^2}x}} - \sqrt[3]{{1 - {{\tan }^2}x}}}}{{x + \sqrt[3]{{{x^2}}}}}$
4. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [\sin (\ln (x + 1)) - \sin (\ln x)]$
5.$ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{\pi }{2} - \arcsin \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)$
6.$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(n + 1 + n\cos n)^{\dfrac{1}{{2n + n\sin n}}}}$
7.$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} }}} \right)$
8. $ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\dfrac{{{n^{3n}}}}{{{{(n!)}^3}}}} \right)^{\dfrac{1}{n}}}$
9. $ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{n + 1}} + ... + \dfrac{1}{{2n}}} \right)$
Love Lan Anh !

#10
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Thêm một số bài giới hạn nè!
1. $ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{{{2^2}}}...\cos \dfrac{x}{{{2^n}}}(x \ne 0)$


Giải quyết bài đầu. Những bài sau khá đơn giản.

Đặt $$L = \cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{{{2^2}}}...\cos \dfrac{x}{{{2^n}}}$$
Trường hợp 1: $x = k2\pi $, ta có: $L = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{{{2^2}}}...\cos \dfrac{x}{{{2^n}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Trường hợp 2: $x \ne k2\pi ,\sin \dfrac{x}{{{2^n}}} \ne 0$

Ta có: $\cos \dfrac{x}{{{2^n}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{{{2^{n - 1}}}}}}{{2\sin \dfrac{x}{{{2^n}}}}}$ nên $L$ được viết thành:
$$\dfrac{{\sin x}}{{2\sin \dfrac{x}{2}}}.\dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2\sin \dfrac{x}{{{2^2}}}}}...\dfrac{{\sin \dfrac{x}{{{2^{n - 1}}}}}}{{2\sin \dfrac{x}{{{2^n}}}}} = \dfrac{{\sin x}}{{{2^n}\sin \dfrac{x}{{{2^n}}}}}$$
Khi $n \to \infty $ thì $\dfrac{x}{{{2^n}}} \to 0$ nên suy ra:
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{\sin x}}{{{2^n}\sin \dfrac{x}{{{2^n}}}}} = \dfrac{{\sin x}}{x}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{\dfrac{x}{{{2^n}}}}}{{\sin \dfrac{x}{{{2^n}}}}} = \dfrac{{\sin x}}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{{{2^2}}}...\cos \dfrac{x}{{{2^n}}} = \left\{ \begin{array}{l}
0\,\,\,if\,\,x = k2\pi \\
\dfrac{{\sin x}}{x}\,\,\,\,if\,\,x \ne k2\pi
\end{array} \right.$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh