Chủ đề này có 14 trả lời

[Te.B]

Thi HSG vòng II năm học 2009-2010
Đề thi môn Toán
Thời gian làm bài :120 phút

Bài 1 ( 3 điểm)
Cho $ A= n^3(n^2-7)^2 -36n $. Chứng minh rằng $ A \vdots 210 $ với n là số nguyên
Bài 2 ( 4 điểm)
a) Giải pt $ (x^2+1)^3 - (3x-1)^3 - (x^2 - 3x + 2)^3 = 0 $
b) Tìm các số nguyên tố x,y,z thỏa mãn: $ x^y +1 = z $
Bài 3 ( 5 điểm)
a) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR
$ \dfrac{1}{a+b-c} + \dfrac{1}{b+c-a} + \dfrac{1}{c+a-b} \geq \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} $
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ A = (4-x)(5-y)(3x+4y) $ biết rằng $ 0 \leq x \leq 4 ; 0 \leq y \leq 5. $
Bài 4 ( 6 điểm )
4.1 Cho tam giác ABC. Qua điểm M bất kì thuộc cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh AB, AC. Hai đường thẳng này lần lượt cắt AC, AB tại E và D. Tìm vị trí của điểm M để tứ giác ADME có diện tích lớn nhất.
4.2 Cho tam giác ABC cân ở A. Vẽ các phân giác AM, BN và CP.
a) CM: $ \dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}} = ( \sqrt{k} + \dfrac{1}{ \sqrt{k} })^2 $ với $ k = \dfrac{AB}{BC} $
b) Cho $ k \neq 1 $. CM $ S_{MNP} < \dfrac{S_{ABC}}{4} $
Bài 5 ( 2 điểm)
Cho 25 số tự nhiên khác nhau và khác 0, trong đó mỗi số không lớn hơn 48. Chứng minh rằng trong 25 số này luôn tìm được ít nhất một nhóm 3 số mà trong nhóm này tồn tại một số bằng tổng hai số kia.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Te.B: 19-03-2010 - 17:00

[dehin]

Thi HSG vòng II năm học 2009-2010
Đề thi môn Toán
Thời gian làm bài :120 phút

Bài 1 ( 3 điểm)
Cho $ A= n^3(n^2-7) -36n $. Chứng minh rằng $ A \vdots 210 $ với n là số nguyên
Bài 2 ( 4 điểm)
a) Giải pt $ (x^2+1)^3 - (3x-1)^3 - (x^2 - 3x + 2)^3 = 0 $
b) Tìm các số nguyên tố x,y,z thỏa mãn: $ x^y +1 = z $
Bài 3 ( 5 điểm)
a) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR
$ \dfrac{1}{a+b-c} + \dfrac{1}{b+c-a} + \dfrac{1}{c+a-b} \geq \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} $
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ A = (4-x)(5-y)(3x+4y) $ biết rằng $ 0 \leq x \leq 4 ; 0 \leq y \leq 5. $

Bài 1: Dùng quy nạp!
Bài 2)
Đặt $ u=x^2+1, v=3x-1 $
Chú ý $ u-v=x^2-3x+2 $. Thay vào pt thành nhân tử là xong!
Bài 3)
a. Sử dụng BDT $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y}$
Áp dụng cho từng cặp 2 biểu thức VT.
b.
$ A=(4-x)(5-y)(3x+4y)=\dfrac{1}{12}.(12-3x)(20-4y)(3x+4y) $
$ \Rightarrow A \leq \dfrac{1}{12}.{(\dfrac{12-3x+20-4y+3x-4y}{3})}^3 =\dfrac{1}{12}.{\dfrac{32}{3}}^3$

[azzurrintu]

Em sai lại bài cuối xem. Nếu lấy 25 số liên tiếp từ 24 đến 48 thì chắc chắn ko tìm đc 3 số nào mà 1 số = tổng 2 số kia.

Phải chăng đề bài là: ko số nào lớn hơn hoặc bằng 48???

[azzurrintu]

Bài 1 hiển nhiên cũng sai đề. Lấy n = 1 làm phản ví dụ.

Ngoài ra thì 1 đa thức bậc 5 ko thể chia hết cho 7 với mọi số nguyên n (nếu muốn chia hết cho 210). Ít nhất phải đa thức bậc 7 theo kinh nghiệm của a (nếu n ko có điều kiện gì đặc biệt kèm theo)

[maths_lovely]

bài một sai đề rồi
Không phải số một mà là nhiều số khác

[maths_lovely]

Bài 5 thì áp dụng nguyên tắc đirichlet là ok
Gọi 25 số tự nhiên đó là
$a_{1}<a_{2}<.....<a_{23}<a_{24}<a_{25}<48 (1)$
$=> a_{25}-a_{24}<a_{25}-a_{23}<.........<a_{25}-a_{1}<48 (2)$
Vậy ở hai dạy trên có tất cả 49 số nhỏ hơn hoặc bằng 48 . Vậy thì một số ở dãy (1) bằng một số ở dãy (2) . Chuyển vế qua là xong
Bài 3 a) cụ thể
$ \dfrac{1}{a+b-c} + \dfrac{1}{b+c-a} \geq \dfrac{2}{b}$
Tương tự ta có $2VT \geq \dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{2}{c}$
=> dpcm
bài 2 b
Do $x;y #4 nguyên tố => x ;y \geq 2 => y \geq 5$
$z$ lẻ => $x^y $ chẵn $=> x =2$
Nếu $y$ => z chia hết cho 3
=> $x=y=2 ; z=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maths_lovely: 19-03-2010 - 17:29

[falling down]

Đề Marie hả em ? Đề thế này là được rồi, nhiều trường nhiều quận ra đề chán lắm

[Te.B]

sr bài 1 em đánh thiếu đề, xin lỗi đã sửa đề rồi đấy ạ.

[Te.B]

Em sai lại bài cuối xem. Nếu lấy 25 số liên tiếp từ 24 đến 48 thì chắc chắn ko tìm đc 3 số nào mà 1 số = tổng 2 số kia.

Phải chăng đề bài là: ko số nào lớn hơn hoặc bằng 48???

Lúc đi thi em cũng thắc mắc cái này nhưng chưa hỏi ai được. Đúng ra phải là: " Chứng minh rằng trong 25 số đó luôn tìm được hoặc là một nhóm có 3 số sao cho một số bằng tổng hai số kia hoặc là 2 số sao cho số lớn gấp đôi số bé" Bài tổng quát của bài 5 ra chứng minh như thế........ Chả hiểu nữa

[maths_lovely]

Bài 5 chị giải rồi cơ mà
Đề đúng đấy

[azzurrintu]

Bài 5 chị giải rồi cơ mà
Đề đúng đấy

Đề sai rồi e. Cách giải của e ko chuẩn nếu đề bài ko có đk: hoặc 1 số gấp 2 lần số kia

Theo cách của e, giả sử trong 2 dãy tồn tại ví dụ a25 - a12 = a12 thì sao. Chỉ là 2 số, chứ ko phải 3 số khác nhau. Nên phải có thêm đk ở trên.

[mybook]

bài 5 ko sai đâu ,bài này sử dụng dirichlet như cách chị VY làm ấy , bài này còn có dạng trong một số quyển sách lớp 7 ấy

[Nguyễn Thái Vũ]

câu b bài 2 đơn giản mà chưa ai làm.
nếu z là số chẵn thì k0 tồn tại x,y thỏa mãn.Suy ra z là số lẻ suy ra $x^y$ là số chẵn nên x=2.
Với y=2 ta thấy thỏa mãn.
Nếu y>2 mà y nguyên tố nên y lẻ suy ra 2^y chia 3 dư -1,cộng thêm 1 nên x^y+1 xhia hết cho 3. Suy ra z chia hết cho 3, vô lí vì z>3.(z=3 cm được vô nghiệm).
Vậy có duy nhất bộ số cần tìm :(x,y,z)=(2,2,5).
Đề này có vẻ dễ hơn lần trước.

[maths_lovely]

@ Vũ : mình làm rùi mà

[maths_lovely]

Đề sai rồi e. Cách giải của e ko chuẩn nếu đề bài ko có đk: hoặc 1 số gấp 2 lần số kia

Theo cách của e, giả sử trong 2 dãy tồn tại ví dụ a25 - a12 = a12 thì sao. Chỉ là 2 số, chứ ko phải 3 số khác nhau. Nên phải có thêm đk ở trên.

anh hay chị nhỉ?
đề đúng rùi đó . Hai số a12 chỉ là trùng hợp . Nằm trong hai dãy khác nhau
Chính vì các số hác nhau nên em mới sắp xếp thứ tự giá trị của chúng
Mà khác nhau là khác nhau trong dãy từ $a_{1} ----> a_{25}$ chứ