Thi HSG vòng II năm học 2009-2010
Đề thi môn Toán
Thời gian làm bài :120 phút
Cho $ A= n^3(n^2-7)^2 -36n $. Chứng minh rằng $ A \vdots 210 $ với n là số nguyên
Bài 2 ( 4 điểm)
a) Giải pt $ (x^2+1)^3 - (3x-1)^3 - (x^2 - 3x + 2)^3 = 0 $
b) Tìm các số nguyên tố x,y,z thỏa mãn: $ x^y +1 = z $
Bài 3 ( 5 điểm)
a) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR
$ \dfrac{1}{a+b-c} + \dfrac{1}{b+c-a} + \dfrac{1}{c+a-b} \geq \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} $
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ A = (4-x)(5-y)(3x+4y) $ biết rằng $ 0 \leq x \leq 4 ; 0 \leq y \leq 5. $
Bài 4 ( 6 điểm )
4.1 Cho tam giác ABC. Qua điểm M bất kì thuộc cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh AB, AC. Hai đường thẳng này lần lượt cắt AC, AB tại E và D. Tìm vị trí của điểm M để tứ giác ADME có diện tích lớn nhất.
4.2 Cho tam giác ABC cân ở A. Vẽ các phân giác AM, BN và CP.
a) CM: $ \dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}} = ( \sqrt{k} + \dfrac{1}{ \sqrt{k} })^2 $ với $ k = \dfrac{AB}{BC} $
b) Cho $ k \neq 1 $. CM $ S_{MNP} < \dfrac{S_{ABC}}{4} $
Bài 5 ( 2 điểm)
Cho 25 số tự nhiên khác nhau và khác 0, trong đó mỗi số không lớn hơn 48. Chứng minh rằng trong 25 số này luôn tìm được ít nhất một nhóm 3 số mà trong nhóm này tồn tại một số bằng tổng hai số kia.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Te.B: 19-03-2010 - 17:00