BDT
#1
Đã gửi 19-03-2010 - 12:36
cho x,y,z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $ \dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$
Chứng minh rằng
$\dfrac {1}{x(x+1)} + \dfrac{1}{y(y+1)}+ \dfrac{1}{z(z+1)} \geq 3/2$
#2
Đã gửi 19-03-2010 - 12:43
em lập ra cái topic này để hỏi bài BDT này có bao nhiêu cách giải
cho x,y,z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $ \dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$
Chứng minh rằng
$\dfrac {1}{x(x+1)} + \dfrac{1}{y(y+1)}+ \dfrac{1}{z(z+1)} \geq 3/2$
Đặt $\dfrac{1}{x}=a,\dfrac{1}{y}=b,\dfrac{1}{z}=c$
thì $a+b+c=3$
và $VT= \sum \dfrac {a^2}{a+1} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 19-03-2010 - 12:43
Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.
________________________________________________________
Vu Thanh Tu, University of Engineering & Technology
#3
Đã gửi 19-03-2010 - 12:56
lời giải 2Đặt $\dfrac{1}{x}=a,\dfrac{1}{y}=b,\dfrac{1}{z}=c$
thì $a+b+c=3$
và $VT= \sum \dfrac {a^2}{a+1} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{3}{2}$
ta có $\dfrac{1}{x(x+1)}\geq \dfrac{3}{4x}-\dfrac{1}{4} $ $\Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0$ (đúng)
xây dựng tương tự cộng lại ta có điều phải chứng minh
nhờ mọi người post tiếp lời giải ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xiloxila: 19-03-2010 - 16:58
#4
Đã gửi 25-03-2010 - 15:15
Cách 3:
$\dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{x+1}{4x} \geq \dfrac{1}{x}$
$...=>DPCM$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Minh Cường: 25-03-2010 - 15:16
#5
Đã gửi 25-03-2010 - 21:01
Có rất nhiều cách
Cách 3:
$\dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{x+1}{4x} \geq \dfrac{1}{x}$
$...=>DPCM$
Cách 4:
ta có $ \dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{x+1} $
=>$ VT= 3- \sum \dfrac{1}{x+1} $
dễ chứng minh được $ \sum \dfrac{1}{x+1} \leq \3/2 $
Thật vậy $ \sum \dfrac{1}{x+1}\leq \sum \dfrac{1}{2\sqrt[]{x} } \leq \dfrac{1}{2} \sqrt[]{3 \sum \dfrac{1}{x} } = \dfrac{3}{2} $
Hãy tìm cho mình một lối đi chứ không phải một lối thoát
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh