Chủ đề này có 3 trả lời

[phuongpro]

Cho a,b>0 thỏa mãn:a+b+ab=3

CMR:$\dfrac{3a}{b+1} +\dfrac{3b}{a+1} + \dfrac{ab}{a+b}\leq a^{2} + b^{2} +\dfrac{3}{2} $

[*LinKinPark*]

ĐK đề bài tương đương với $\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = 4$

Viết BĐT cần CM lại thành:

$\dfrac{{3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3\left( {a + b} \right)}}{4} + \dfrac{{ab}}{{a + b}} \le {a^2} + {b^2} + \dfrac{3}{2}$

Đặt $p = a + b,r = ab$, chú ý $p + r = 3$, BĐT cần CM tương đương:

${p^3} - {p^2} + 4p - 12 \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left( {p - 2} \right)\left( {{p^2} + p + 6} \right) \ge 0$

Hiển nhiên đúng vì $\dfrac{{{p^2}}}{4} + p \ge r + p = 3 \Leftrightarrow {p^2} + 4p - 12 \ge 0 \Rightarrow p \ge 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 21-03-2010 - 12:54

[vinh0105]

Ta có :
$a + b + ab = 3 \Leftrightarrow a + b = 3 - ab \ge 3 - \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{4}$
$ \Leftrightarrow (a + b - 2)(a + b + 6) \ge 0$
$ \Leftrightarrow a + b \ge 2$
Lại có :
$VT = \dfrac{{3{a^2} + 3a + 3{b^2} + 3b}}{{a + b + ab + 1}} + \dfrac{{ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{3{a^2} + 3{b^2} + 4a + 4b}}{4}$
Vậy, ta cần CM :
$3{a^2} + 3{b^2} + 4a + 4b \le 4{a^2} + 4{b^2} + 6$
$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2(a + b + ab) - 4(a + b) \ge 0$
$ \Leftrightarrow (a + b - 2)(a + b) \ge 0$ (đúng)
Vậy ta có đpcm

[hehehe_hehehe]

Bài này là đề thi hsg Sư Phạm mà nhỉ