Bài 1: Tìm rank của ma trận, phụ thuộc vào biến phức X:
Bài 2: Gọi ma trận là dịu dàng, nếu như rank của nó không thay đổi cùng với mọi sự thay đổi của phần tử ma trận.
Rank của ma trận dịu dàng 2009x2009 thường là bao nhiêu, nếu như ma trận:
a)trên trường số phức
b)trên trường từ 2 phần tử.
Bài 3: Có bao nhiêu số hạng khác 0 trong vế phải của nhị thức Newton:
$(a+b)^{2009}=a^{2009}+...+b^{2009}$
trên trường đồng dư theo modul 2?
Bài 4: Chứng minh rằng: nếu như trường $K$ không phải là trường đóng đại số, thì tập hợp nghiệm trong $K^n$ của hệ phương trình
$f_1(x_1,.....,x_n)=f_2(x_1,.....,x_n)=....=f_m(x_1,.....,x_n)$, ($f_1,....,f_m$) - đa thức n biến thuộc K) trùng với tập hợp nghiệm của 1 phương trình $F(x_1,...,x_n)=0$, F - đa thức n biến thuộc $K$.
Bài 5: Vành giao hoán kết hợp có hạn (có thể không có $e$) gọi là kỳ diệu, nếu như tích của mọi phần tử $\ne$ 0 không bằng 0, cũng không bằng -$e$. Hãy tìm mọi vành kỳ diệu như thế !
Bài 6: Số lượng gián, sống trong 1 phòng của ký túc xá có 100 phòng, bằng trung bình công số lương gián sống trong các phòng hàng xóm. Từ quy luật này chỉ có 2 ngoại lệ: phòng của sinh viên D có (100!)! (giai thừa) con gián, và phòng của sinh viên O hoàn toàn không có gián. Hãy chứng minh rằng, dù kiến trúc của ký túc xá có như thế nào đi nữa, hệ phương trình luôn có nghiệm nguyên. (Theo lý thuyết, 1 phòng có từ 1 đến 6 phòng hàng xóm).
Bài 7: Chúng ta gọi phần tử của nhóm là buồn rầu, nếu như nó không hoán vị với ai cả, ngoại trừ chính mình và $e$. Hãy chứng minh rằng, trong các nhóm không phải là $e$-nhóm (nhóm chỉ có duy nhất 1 và chỉ 1 phần tử $e$), các phần tử buồn rầu hoặc chiếm 1 nửa, hoặc là không tồn tại.
Bài 8: Giả sử nhóm aben A đẳng cấu với 1 nhóm con nào đó của nhóm B, còn nhóm B đẳng cấu với 1 nhóm con nào đó của nhóm A. Các nhóm này có thể là:
a)các nhóm không đẳng cấu?
b)các finitely generated groups không đẳng cấu?
