Đến nội dung

Hình ảnh

BDT hay


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
maths_lovely

maths_lovely

    Princess of math

  • Thành viên
  • 750 Bài viết
Cho $a,b,c >0$ . $ab+bc+ca=3$ . Tìm min : $\sum \dfrac{a^4}{b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maths_lovely: 18-04-2010 - 17:21


#2
*LinKinPark*

*LinKinPark*

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
$\sum {\dfrac{{{a^4}}}{{b + c}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum {{a^2}} } \right)}^2}}}{{2\left( {\sum a } \right)}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum a } \right)}^4}}}{{18\left( {\sum a } \right)}} = \dfrac{3}{2}$

#3
*LinKinPark*

*LinKinPark*

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
Ta có: ${\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) = 9 \Rightarrow a + b + c \ge 3$

Làm tương tự như trên :D

#4
maths_lovely

maths_lovely

    Princess of math

  • Thành viên
  • 750 Bài viết

Ta có: ${\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) = 9 \Rightarrow a + b + c \ge 3$

Làm tương tự như trên :D

Anh nhầm rồi $a+b+c \geq 3$ thì $VT \leq.........$ . bài này em có đáp án rồi . ko dễ đâu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maths_lovely: 18-04-2010 - 17:18


#5
*LinKinPark*

*LinKinPark*

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết

Anh nhầm rồi $a+b+c \geq 3$ thì $VT \leq.........$ . bài này em có đáp án rồi . ko dễ đâu

???

$\sum {\dfrac{{{a^4}}}{{b + c}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum {{a^2}} } \right)}^2}}}{{2\left( {\sum a } \right)}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum a } \right)}^4}}}{{18\left( {\sum a } \right)}} = \dfrac{1}{{18}}{\left( {\sum a } \right)^3} \ge \dfrac{1}{{18}}{.3^3} = \dfrac{3}{2}$

Em post thử đáp an xem :D

#6
maths_lovely

maths_lovely

    Princess of math

  • Thành viên
  • 750 Bài viết
Hic..........Sao ngu wa' zậy , em làm đến chổ $\dfrac{1}{18} (a+b+c)^3$ rồi , nghĩ đến cái bdt $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac)$ rồi mà......we^n khai phương $a+b+c \geq 3$.Hic........Làm hồi 2h sáng ( Chắc hoa mắt ) :D:(
Sr anh nhé
Cách trong sách ko hay . Thôi khỏi cũng dc :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maths_lovely: 18-04-2010 - 17:20


#7
truongvoki_bn9x

truongvoki_bn9x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết

Cho $a,b,c >0$ . $ab+bc+ca=3$ . Tìm min : $\sum \dfrac{a^4}{b+c}$



Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b\geq c >0 $
ta có $ (a+b+c)^{2} \geq \3 (ab+bc+ca) =9 $
Suy ra $ a+b+c \geq 3 $
AD BDT chebyshev ta có:
$ \sum \dfrac{a^4}{b+c} \geq \dfrac{1}{ 3^{3} } (a+b+c)^{3} ( \sum \dfrac{a}{b+c} ) \geq \dfrac{3}{2} $
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Bôi đen để thấy:

Hãy tìm cho mình một lối đi chứ không phải một lối thoát

#8
No Problem

No Problem

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết

Cho $a,b,c >0$ . $ab+bc+ca=3$ . Tìm min : $\sum \dfrac{a^4}{b+c}$


cần gì phải đao to búa lớn thế, bài này hoàn toàn có thể giải quyết bằng CS như anh gì đó,bầy giờ mình sẽ bổ sung cách dùng AM-GM :D
$\sum\dfrac{a^4}{b+c}+\sum\dfrac{b+c}{4}\ge \sum \ a^2$
:D $\sum\dfrac{a^4}{b+c}\ge \sum \ a^2 -\dfrac{a+b+c}{2}=(a+b+c)^2-\dfrac{a+b+c}{2}-6=(a+b+c)(a+b+c-\dfrac{1}{2})-6\ge \ 3.(3-\dfrac{1}{2})-6=\dfrac{3}{2}$

#9
hinh

hinh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b\geq c >0 $
ta có $ (a+b+c)^{2} \geq \3 (ab+bc+ca) =9 $
Suy ra $ a+b+c \geq 3 $
AD BDT chebyshev ta có:
$ \sum \dfrac{a^4}{b+c} \geq \dfrac{1}{ 3^{3} } (a+b+c)^{3} ( \sum \dfrac{a}{b+c} ) \geq \dfrac{3}{2} $
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

bọn nó gọi cậu là "thủy chebyshev" chẳng sai tí nào !!!to thì chắc ít khi nghĩ toi ,thôi rút kinh nghiệm vậy!!!
trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng!

#10
ka4

ka4

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
nhan cho (a + b + B + c + c +a )
Sau do xai Bunhiacopxki
Do lau roi khong len nen khong quen text

#11
trinh95

trinh95

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
Thì $Svacxo$ $(Cauchy-schwarz)$ là hệ quả của $BCS$ thôi mà . Chỉ áp dụng cho 2 bộ số khác nhau :D




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh