Chủ đề này có 4 trả lời

[Đỗ Quang Duy]

1. Cho $a, b, c > 0$ và số tự nhiên $n \geq 1$. Chứng minh rằng
$\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}(\dfrac{a+b+c}{3})^{n-1}$

2. Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng
$S=\dfrac{a+b}{b+c+d}+\dfrac{b+c}{c+d+a}+\dfrac{c+d}{d+a+b}+\dfrac{d+a}{a+b+c} \geq \dfrac{8}{3}$

[maths_lovely]

Bài đầu có lẽ là dạng tổng quát của bài mình vừa post . bài này dùng cosi thôi

[*LinKinPark*]

Bài 1 Không mất tổng quát giả sử $a \ge b \ge c$

Ta có: $\left( {\sum {\dfrac{{{a^n}}}{{b + c}}} } \right) \ge \dfrac{1}{3}\left( {\sum {{a^{n - 1}}} } \right)\left( {\sum {\dfrac{a}{{b + c}}} } \right) \ge \dfrac{1}{2}\left( {\sum {{a^{n - 1}}} } \right)$

Chú ý $\left( {\dfrac{{\sum {{a^{n - 1}}} }}{3}} \right) \ge {\left( {\dfrac{{\sum a }}{3}} \right)^{n - 1}}$

Suy ra $\left( {\sum {\dfrac{{{a^n}}}{{b + c}}} } \right) \ge \dfrac{3}{2}.{\left( {\dfrac{{\sum a }}{3}} \right)^{n - 1}}$ Q.E.D

Bài 2 Ta có:

$S = \left( {\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{a + b}}{{b + c + d}}} } \right) = \left( {\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{b^2} + ab + ac + bc + ad + bd}}} } \right)$

$ \ge \dfrac{{4{{\left( {\sum a } \right)}^2}}}{{\left( {\sum {{a^2}} } \right) + 3\left( {\sum\limits_{cyc} {ab} } \right) + 4\left( {ac + bd} \right)}}$

$ = \dfrac{{4{{\left( {\sum a } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sum a } \right)}^2} + \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) + \left( {b + c} \right)\left( {a + d} \right)}}$

AM-GM

$\left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) \le \dfrac{1}{4}{\left( {a + b + c + d} \right)^2}$

$\left( {b + c} \right)\left( {a + d} \right) \le \dfrac{1}{4}{\left( {a + b + c + d} \right)^2}$

Suy ra $S \ge \dfrac{8}{3}$

[mybest]

[quote name='*LinKinPark*' date='Apr 18 2010, 01:00 PM' post='234823']
Bài 1 Không mất tổng quát giả sử $a \ge b \ge c$


Cho mình hỏi chút sao nhiều bài toán hay giả sử dạng thế này vậy .Nếu không giả sử như vậy cm có dược không?

[truongvoki_bn9x]

Bài 1 Không mất tổng quát giả sử $a \ge b \ge c$
Cho mình hỏi chút sao nhiều bài toán hay giả sử dạng thế này vậy .Nếu không giả sử như vậy cm có dược không?
[/quote]



Vì nó đối xứng. giả sử vậy để sử dụng BDT chebyshev thôi. Không giả sử vậy cũng cm được. Dùng côsi là ra thôi