Chủ đề này có 2 trả lời

[linhan]

cho xyz =1 va x,y,z $\geq $0
tìm Min cùa

M=$\sqrt{\dfrac{{a^4+b^4}}{{1+ab}}}+\sqrt {\dfrac{{b^4+c^4 }}{{1+bc}}}+\sqrt {\dfrac{{c^4+a^4}}{{1+ca}}} $

[linhan]

sao không bạn nào giải giùm minh thế
không ai trong dien dan giai noi sao
bun wa

[truongvoki_bn9x]

cho xyz =1 va x,y,z $\geq $0
tìm Min cùa

M=$\sqrt{\dfrac{{a^4+b^4}}{{1+ab}}}+\sqrt {\dfrac{{b^4+c^4 }}{{1+bc}}}+\sqrt {\dfrac{{c^4+a^4}}{{1+ca}}} $

Ta có:
$ a^{4}+ b^{4} \geq \ ab( a^{2}+ b^{2}) \geq \dfrac{1}{2}ab (a+b)^{2}$
mà 1+ab=ab(c+1)
$ \Rightarrow \sum \sqrt{ \dfrac{ (a^{4} + b^{4}) }{1+ab} } \geq \sum \dfrac{a+b}{ \sqrt{2c+2}} \geq \dfrac{4(a+b)}{2c+6} = \dfrac{2(a+b)}{c+3} $
$ \Rightarrow \ M \geq \2 \sum \dfrac{a+b}{c+3} $
Không mất tính tổng quát giả sử $ a \geq \ b \geq \ c $
$ \Rightarrow \ (a+b) \geq \ (b+c) \geq \ (c+a) $
và $ (c+3) \leq \ (b+3) \leq (a+3) $
Áp dụng BDT chebyshev ta có:
$ \ 2 \sum \dfrac{a+b}{c+3} \geq \dfrac{4}{3} (a+b+c) \sum \dfrac{1}{a+3} \geq \dfrac{4}{3} (a+b+c) \dfrac{9}{a+b+c+9} \geq \3 $
Ta có đpcm