Cho tam giác $ABC$, ba đường cao là $AD;BE;CF$ Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ ở $G$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AD$ ở $H$
C/m $GH$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$
Gọi K là trực tâm tam giác ABC, O là trung điểm BC ta có:
Tứ giác FKDB, KECD nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{FDH}=\widehat{FBE}=\widehat{FCE}=\widehat{HDE}$
$\Rightarrow \widehat{FDE}=\widehat{FOE}$
$\Rightarrow$ Tứ giác FEOD nội tiếp
$\Rightarrow GF.GE=GD.GO$ (1)
Vẽ tiếp tuyến GT với (O) với T là tiếp điểm, T hạ vuông góc BC tại S
$\Rightarrow GF.GE=GT^{2}=GS.GO$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow GD=GS$ $\Rightarrow D\equiv S$
$\Rightarrow T\equiv H$ và GH là tiếp tuyến (O) (đpcm)