Đến nội dung

Hình ảnh

$GH$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nguyen thai phuc

nguyen thai phuc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết

Cho tam giác $ABC$, ba đường cao là $AD;BE;CF$ Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ ở $G$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AD$ ở $H$
C/m $GH$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$
12.jpg

File gửi kèm

  • File gửi kèm  12.bmp   901.74K   97 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 02-05-2013 - 23:29

Hình đã gửi

#2
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Cho tam giác $ABC$, ba đường cao là $AD;BE;CF$ Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ ở $G$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AD$ ở $H$
C/m $GH$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$
12.jpg

Gọi K là trực tâm tam giác ABC, O là trung điểm BC ta có:

Tứ giác FKDB, KECD nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{FDH}=\widehat{FBE}=\widehat{FCE}=\widehat{HDE}$

$\Rightarrow \widehat{FDE}=\widehat{FOE}$

$\Rightarrow$ Tứ giác FEOD nội tiếp

$\Rightarrow GF.GE=GD.GO$ (1)

Vẽ tiếp tuyến GT với (O) với T là tiếp điểm, T hạ vuông góc BC tại S

$\Rightarrow GF.GE=GT^{2}=GS.GO$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow GD=GS$ $\Rightarrow D\equiv S$

$\Rightarrow T\equiv H$ và GH là tiếp tuyến (O) (đpcm)



#3
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết

Cho tam giác $ABC$, ba đường cao là $AD;BE;CF$ Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ ở $G$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AD$ ở $H$
C/m $GH$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$
12.jpg

Bài này vận dụng tí kiến thức THPT cũng có thể làm được.

Lấy $O$ là trung điểm $BC$. Áp dụng đường tròn 9 điểm Euler có $ODFE$ nội tiếp. Vậy nên áp dụng phương tích cho điểm $G$: $GD.GO=GF.GE$ lại áp dụng phương tích của điểm $G$ cho đường tròn đường kính $BC$: $GB.GC=GF.GE=GD.GO$ Vậy nên áp dụng hệ thức $Maclaurin$ ta có $(G,D,B,C)=-1$. Vậy nên: $\frac{GB}{DB}=\frac{GC}{DC}$ Mặt khác: $BHC=90^0$ nên theo định lý về chùm điều hoà ta có $HB$ là phân giác $GHD$. Vậy nên $\angle{GHB}=\angle{BHD}=\angle{HCB}=90^0-\angle{HBO}=90^0-\angle{BHO}$ Vậy nên $\angle{GHO}=90^0$ Vậy nên ta có đpcm....

P/s: Lâu rồi không trở lại VMF... 


TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#4
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết

Chấm bài: 

henry0905: 10 điểm
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh