Chủ đề này có 3 trả lời

[wonderboy]

1/ $( x^{3} +1) + ( x^{2} +1) + 3x \sqrt{x+1} >0$
2/ cho $x,y,z \geq 0$ và$ x+y+z \leq 3$
CMR:
$\dfrac{1}{2xy+1} + \dfrac{1}{2yz+1} + \dfrac{1}{2zx+1} \geq 1$

[*LinKinPark*]

Bài 1 $ \Leftrightarrow {\left( {x\sqrt {x + 1} + 1} \right)^2} + x\sqrt {x + 1} + 1 > 0$

Bài 2 Ta có: $xy + yz + zx \le \dfrac{1}{3}{\left( {x + y + z} \right)^2} = 3$

Suy ra $\sum {\dfrac{1}{{2xy + 1}}} \ge \dfrac{9}{{2\left( {xy + yz + zx} \right) + 3}} \ge 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 22-04-2010 - 23:22

[wonderboy]

Bài 1 $ \Leftrightarrow {\left( {x\sqrt {x + 1} + 1} \right)^2} + x\sqrt {x + 1} + 1 > 0$

Bài 2 Ta có: $xy + yz + zx \le \dfrac{1}{3}{\left( {x + y + z} \right)^2} = 3$

Suy ra $\sum {\dfrac{1}{{2xy + 1}}} \ge \dfrac{9}{{2\left( {xy + yz + zx} \right) + 3}} \ge 1$

bạn ơi!
bạn có thể nói rõ bài 1 và bài 2 cho mình được không. Bạn làm tắt quá mình không hiểu.

[*LinKinPark*]

Bài 1 $\left[ {{x^2}\left( {x + 1} \right) + 2x\sqrt {x + 1} + 1} \right] + x\sqrt {x + 1} + 1 > 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {x\sqrt {x + 1} + 1} \right)^2} + x\sqrt {x + 1} + 1 > 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {x\sqrt {x + 1} + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0$

Thật ra nó chỉ là nhận xét ${a^2} + a + 1 > 0$ $\forall a$

Bài 2 Ta có: $xy + yz + zx \le \dfrac{1}{3}{\left( {x + y + z} \right)^2} = 3$

Suy ra $\sum {\dfrac{1}{{2xy + 1}}} \ge \dfrac{9}{{2\left( {xy + yz + zx} \right) + 3}} \ge 1$

Bài này minh sử dụng 2 BĐT cơ bản là $xy + yz + zx \le \dfrac{1}{3}{\left( {x + y + z} \right)^2}$

và $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}$ với $a = 2yz + 1,b = 2xz + 1,c = 2xy + 1$