Chủ đề này có 2 trả lời

[Phan Văn Khanh]

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1. CMR:

[danghaiphung169]

Em giải thật dài và trâu bò . Hix
Giả sử a=max{a,b,c}
Ta có : Bđt
4$ \sum a^{3}c+2 \sum a^{3}+2 \sum ac^{2}+\sum a \geq 4 \sum a^{2}b^{2}+9+2 \sum a^{2}$
Ta có : 2 $\sum a^{3}c \geq 2 \sum ac^{3}$
$\Rightarrow 4 \sum a^{3}c \geq 2 \sum ac^{3} + 2 \sum a^{3}c$
mà $2 \sum ac^{3} + 2 \sum a^{3}c \geq 4 \sum a^{2}b^{2}$
$\Rightarrow 4 \sum a^{3}c \geq 4 \sum a^{2}b^{2}$ (1)
Ta có :$ 2 \sum a^{3}+3 \geq 3 \sum a^{2}$
mà $\sum a^{3} \geq 3$
$\Rightarrow 3 \sum a^{3} \geq 3 \sum a^{2}$
$ \Leftrightarrow \sum a^{3} \geq \sum a^{2}$ (2)
Và cuối cùng ta có :$ 2 \sum ac^{2}+\sum a \geq 9$ (3)
(1)(2)(3) dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi danghaiphung169: 01-05-2010 - 02:20

[*LinKinPark*]

Bài làm của bạn quả là kỳ công

Do $abc=1$ đặt $a = \dfrac{x}{y},b = \dfrac{y}{z},c = \dfrac{z}{x}$. BĐT cân CM trở thành:

$\sum {\dfrac{{x{z^2}}}{{y\left( {2{y^2} + {z^2}} \right)}}} \ge 1$

Đặt $x = \dfrac{1}{u},y = \dfrac{1}{v},z = \dfrac{1}{w}$. BĐT cần CM trở thành:

$\sum {\dfrac{{{v^3}}}{{u\left( {2{w^2} + {v^2}} \right)}}} \ge 1$

Ta có: $LHS* = \sum {\dfrac{{{v^4}}}{{uv\left( {2{w^2} + {v^2}} \right)}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum {{u^2}} } \right)}^2}}}{{2uvw\left( {\sum u } \right) + \left( {\sum\limits_{cyc} {u{v^3}} } \right)}}$

Áp dụng 2 BĐT

$\sum\limits_{cyc} {u{v^3}} \le \dfrac{1}{3}{\left( {\sum {{u^2}} } \right)^2}$ ( Vacsile Certoaje' Ineq )

$2uvw\left( {\sum u } \right) \le \dfrac{2}{3}{\left( {\sum {{u^2}} } \right)^2}$

Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 29-04-2010 - 21:13