Đến nội dung

Hình ảnh

Hai bài


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Messi_ndt

Messi_ndt

    Admin batdangthuc.com

  • Thành viên
  • 679 Bài viết
Cho $ a,b,c >0 $.Chứng minh rằng:
1)$ \sqrt{(a+b+c)(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} )} \geq 1+ \sqrt{1+ \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a^2} +\dfrac{1}{b^2} +\dfrac{1}{c^2})} } ,$
2)$ \sqrt{(a+b+c)(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} )} \geq 1+ \sqrt[3]{5+ \sqrt{(a^3+b^3+c^3)(\dfrac{1}{a^3} +\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3})} } ,$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi_ndt: 27-04-2010 - 07:24


#2
*LinKinPark*

*LinKinPark*

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
Bài 1 Do BĐT này là thuẩn nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$

Đặt $p = a + b + c = 1,q = ab + bc + ca,r = abc$, BĐT cần CM tương đương:

$\sqrt q \ge \sqrt r + \sqrt {r + \sqrt {\left( {1 - 2q} \right)\left( {{q^2} - 2r} \right)} } $

$ \Leftrightarrow q + r - 2\sqrt {qr} \ge r + \sqrt {\left( {1 - 2q} \right)\left( {{q^2} - 2r} \right)} $

$ \Leftrightarrow {q^2} + 4qr - 4\sqrt {{q^3}r} \ge {q^2} - 2r - 2{q^3} + 4qr$

$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{q^3}} - \sqrt r } \right)^2} \ge 0$ Q.E.D

Bài 2 Làm tương tự ta đưa BDT cần CM về dạng sau

$6{q^2}r + 63q{r^2} + 27{r^3} + 3qr + 3{q^4} \ge 6\sqrt {{q^5}r} + 30\sqrt {{{\left( {qr} \right)}^3}} + 36\sqrt {q{r^5}} + 3{r^2} + 3{q^3}r$

Ta có:

$3{q^4} + 3{q^2}r \ge 6\sqrt {{q^5}r} $

$5{q^2}r + 45q{r^2} \ge 30\sqrt {{q^3}{r^3}} $

$6q{r^2} + 54{r^3} \ge 36\sqrt {q{r^5}} $

${q^2}r + 12q{r^2} \ge 3{r^2} + 3{q^3}r + 27{r^3}$

Cộng lại Q.E.D

Chú ý: $q \le \dfrac{1}{3},r \le \dfrac{1}{{27}},{q^2} \ge 3r,r \ge \left( {\dfrac{{4q - 1}}{9}} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 25-04-2010 - 19:58


#3
nguyen thai phuc

nguyen thai phuc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết

Cho $ a,b,c >0 $.Chứng minh rằng:
1)$ \sqrt{(a+b+c)(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} } \geq 1+ \sqrt{1+ \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a^2} +\dfrac{1}{b^2} +\dfrac{1}{c^2})} } ,$
2)$ \sqrt{(a+b+c)(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} } \geq 1+ \sqrt[3]{5+ \sqrt{(a^3+b^3+c^3)(\dfrac{1}{a^3} +\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3})} } ,$

Mấy bài này mạnh quá.Ai đi post vào box thcs cơ chứ.
Em thích mấy bài đẹp cơ.Đánh giá phải hay cơ.
Em không thix p,q,r lắm mặc dù đây là thứ mạnh nhất mà em có:Rightarrow
Hình đã gửi

#4
*LinKinPark*

*LinKinPark*

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
Bài 1 Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác. CM:

$\left[ {\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3}}}} } \right] + 1 \ge 2\left[ {\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}}} } \right]$

Bài 2 Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:

$\sum {\dfrac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} + \dfrac{3}{8}\sqrt[3]{{\dfrac{{{{\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)} \right]}^2}}}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}}} \ge 3$

Mấy bài này mạnh quá.Ai đi post vào box thcs cơ chứ.
Em thích mấy bài đẹp cơ.Đánh giá phải hay cơ.
Em không thix p,q,r lắm mặc dù đây là thứ mạnh nhất mà em có:Rightarrow


Làm việc có phương pháp vẫn thú vị hơn chứ ^^.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 25-04-2010 - 20:48


#5
vinh0105

vinh0105

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
Ta có :
$(a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = \sum {a.\sum {\dfrac{1}{a} = } } \sqrt {(\sum {{a^2}} + 2\sum {ab} )(\sum {\dfrac{1}{{{a^2}}} + 2\sum {\dfrac{1}{{ab}})} } } \ge \sqrt {\sum {{a^2}} .\sum {\dfrac{1}{{{a^2}}}} } + \sqrt {2\sum {ab} .2\sum {\dfrac{1}{{ab}}} } = \sqrt {\sum {{a^2}} .\sum {\dfrac{1}{{{a^2}}}} } + 2\sqrt {\sum a .\sum {\dfrac{1}{a}} } $

$ \Rightarrow {\left( {\sqrt {\sum {a.\sum {\dfrac{1}{a}} } } - 1} \right)^2} \ge 1 + \sqrt {\sum {{a^2}} .\sum {\dfrac{1}{{{a^2}}}} } $

$ \Rightarrow \sqrt {\sum {a.\sum {\dfrac{1}{a}} } } - 1 \ge \sqrt {1 + \sqrt {\sum {{a^2}} .\sum {\dfrac{1}{{{a^2}}}} } } $

$ \Rightarrow \sqrt {\sum {a.\sum {\dfrac{1}{a}} } } \ge 1 + \sqrt {1 + \sqrt {\sum {{a^2}} .\sum {\dfrac{1}{{{a^2}}}} } } $

Vậy ta có đpcm :Rightarrow :Rightarrow
....hoa cười nguyệt rọi cửa lồng gương....
....lạ cảnh buồn thêm nỗi vấn vương....
....tha thướt liễu in hồ gợn sóng....
....hững hờ mai thoảng gió đưa hương....

#6
No Problem

No Problem

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết

Bài 2 Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:

$\sum {\dfrac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} + \dfrac{3}{8}\sqrt[3]{{\dfrac{{{{\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)} \right]}^2}}}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}}} \ge 3$
Làm việc có phương pháp vẫn thú vị hơn chứ ^^.


latex đánh chằn quá :Rightarrow
AM-GM cho 4 số
rút gọn dùng cái này: $\sqrt[3]{(a+b)^2(a+b)^2(2a^2+2b^2)}\le \dfrac{4(a^2+ab+b^2)}{3}$ là ok :Rightarrow

#7
mybest

mybest

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
Em làm nhiều bài bdt rồi mà không biết phân biệt đâu là bdt thuần nhất nữa mọi người có thể giúp em được không?Em cảm ơn nhiều

#8
Messi_ndt

Messi_ndt

    Admin batdangthuc.com

  • Thành viên
  • 679 Bài viết

Ta có :
Vậy ta có đpcm :D :D


Bài 1 Mình cũng dùng $ p,q,r $ như Thành,còn bài 2 Thành làm hay nhỉ,mình cũng thử nó nhưng không ra được.
Hì,cả hai bài đều hay.Đây là lời giải dùng CBS cho bài 2,rất tuyệt:

Hình gửi kèm

  • NDT_VICFJ2009.GIF





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh