Bài 1 Do BĐT này là thuẩn nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$
Đặt $p = a + b + c = 1,q = ab + bc + ca,r = abc$, BĐT cần CM tương đương:
$\sqrt q \ge \sqrt r + \sqrt {r + \sqrt {\left( {1 - 2q} \right)\left( {{q^2} - 2r} \right)} } $
$ \Leftrightarrow q + r - 2\sqrt {qr} \ge r + \sqrt {\left( {1 - 2q} \right)\left( {{q^2} - 2r} \right)} $
$ \Leftrightarrow {q^2} + 4qr - 4\sqrt {{q^3}r} \ge {q^2} - 2r - 2{q^3} + 4qr$
$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{q^3}} - \sqrt r } \right)^2} \ge 0$ Q.E.D
Bài 2 Làm tương tự ta đưa BDT cần CM về dạng sau
$6{q^2}r + 63q{r^2} + 27{r^3} + 3qr + 3{q^4} \ge 6\sqrt {{q^5}r} + 30\sqrt {{{\left( {qr} \right)}^3}} + 36\sqrt {q{r^5}} + 3{r^2} + 3{q^3}r$
Ta có:
$3{q^4} + 3{q^2}r \ge 6\sqrt {{q^5}r} $
$5{q^2}r + 45q{r^2} \ge 30\sqrt {{q^3}{r^3}} $
$6q{r^2} + 54{r^3} \ge 36\sqrt {q{r^5}} $
${q^2}r + 12q{r^2} \ge 3{r^2} + 3{q^3}r + 27{r^3}$
Cộng lại Q.E.D
Chú ý: $q \le \dfrac{1}{3},r \le \dfrac{1}{{27}},{q^2} \ge 3r,r \ge \left( {\dfrac{{4q - 1}}{9}} \right)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 25-04-2010 - 19:58