Chủ đề này có 2 trả lời

[jet_nguyen]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm mối liên hệ giữa góc B và góc C để OH//BC.

[*LinKinPark*]

Để $OH\parallel BC$ thì $\overrightarrow {OH} = k\overrightarrow {BC} $. Ta có:

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} = k\overrightarrow {BC} $

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \left( {1 + k} \right)\overrightarrow {OB} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $

$ \Leftrightarrow \sin 2A\overrightarrow {.OA} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 + k} \right).\overrightarrow {OB} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 - k} \right).\overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $

Mặt khác ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A.\overrightarrow {OA} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}B.\overrightarrow {OB} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}C.\overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $

Nên $\left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}B - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 + k} \right)} \right].\overrightarrow {OB} + \left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}C - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 - k} \right)} \right].\overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}B = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 + k} \right) \\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}C = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 - k} \right) \\ \end{array} \right.$

$ \Rightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}B + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}C = 2\sin 2A$

$ \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right) + 2\cos \left( {B + C} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow 2\cos B\cos C + \cos \left( {B + C} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \cot B.\cot C = \dfrac{1}{3}$

Đây là hệ thức cần tìm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 27-04-2010 - 11:50

[Peter Pan]

Để $OH\parallel BC$ thì $\overrightarrow {OH} = k\overrightarrow {BC} $. Ta có:

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} = k\overrightarrow {BC} $

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \left( {1 + k} \right)\overrightarrow {OB} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $

$ \Leftrightarrow \sin 2A\overrightarrow {.OA} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 + k} \right).\overrightarrow {OB} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 - k} \right).\overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $

Mặt khác ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A.\overrightarrow {OA} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}B.\overrightarrow {OB} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}C.\overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $

Nên $\left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}B - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 + k} \right)} \right].\overrightarrow {OB} + \left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}C - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 - k} \right)} \right].\overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}B = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 + k} \right) \\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}C = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}A\left( {1 - k} \right) \\ \end{array} \right.$

$ \Rightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}B + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}C = 2\sin 2A$

$ \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right) + 2\cos \left( {B + C} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow 2\cos B\cos C + \cos \left( {B + C} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \cot B.\cot C = \dfrac{1}{3}$

Đây là hệ thức cần tìm

anh làm như thế khó hiểu quá
theo đường thẳng Ơ-le ta có G thuộc OH do đó $HA_1= \dfrac{1}{3}AA_1$(nếu cách khác thì kể đk$AK,AA_1$ cắt O ở E xuất hiện đường trung bình HO có HA=HE,mà $A_1H=A_1E$,do đó cũng được điều như trên)
có $BA_1.A_1C=A_1H.A_1A $
suy ra $ \cot B.\cot C=\dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi winwave1995: 27-04-2010 - 12:39