Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c vả Ma.Mb,Mc lả dộ dải 3 đưởng trung tuyến.tìm min
$\dfrac{{a}^{3}}{{Ma}^{3}}+\dfrac{{b}^{3}}{{Mb}^{3}} + \dfrac{{c}^{3}}{{Mc}^{3}}$
Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c vả Ma.Mb,Mc lả dộ dải 3 đưởng trung tuyến.tìm min
Bắt đầu bởi jet_nguyen, 26-04-2010 - 05:54
#2
Đã gửi 26-04-2010 - 10:49
*LinKinPark*
-
- Thành viên
-
- 146 Bài viết
Trung sĩ
AM-GM: $\sum {{{\left( {\dfrac{a}{{{m_a}}}} \right)}^3}} \ge \dfrac{1}{9}{\left( {\sum {\dfrac{a}{{{m_a}}}} } \right)^3} = \dfrac{8}{9}{\left( {\sum {\dfrac{a}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} }}} } \right)^3}$
Ta sẽ CM: $\sum {\dfrac{a}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} }}} \ge \sqrt 3 $
Chuẩn hóa ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$. BĐT trở thành
$\sum {\dfrac{a}{{\sqrt {2 - {a^2}} }}} \ge 3$
Ta có: $\sum {\dfrac{a}{{\sqrt {2 - {a^2}} }}} = \sum {\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2}\left( {2 - {a^2}} \right)} }}} \ge \sum {{a^2}} = 3$ Q.E.D
Vậy $\min = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}$ khi tam giác $ABC$ đều
Ta sẽ CM: $\sum {\dfrac{a}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} }}} \ge \sqrt 3 $
Chuẩn hóa ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$. BĐT trở thành
$\sum {\dfrac{a}{{\sqrt {2 - {a^2}} }}} \ge 3$
Ta có: $\sum {\dfrac{a}{{\sqrt {2 - {a^2}} }}} = \sum {\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2}\left( {2 - {a^2}} \right)} }}} \ge \sum {{a^2}} = 3$ Q.E.D
Vậy $\min = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}$ khi tam giác $ABC$ đều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 26-04-2010 - 10:52
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
