Chủ đề này có 7 trả lời

[Lilynguyen]

Cm: Tam giac ABC thỏa mãn a(1-2cosA) + b(1 + 2cosB) + c(1-2cosC) = 0 thì ABC đều

Cm: Tam giác ABC thỏa sinA = 2sinB.cosC thì Tam giác ABC cân

Cm: Tam giác ABC thỏa sinA = cosB + cosC thì Tam giác ABC vuông

Cảm ơn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lilynguyen: 01-05-2010 - 07:48

[minhhung_2811]

Bài 1
Đề bài có vấn đề chút xíu rồi. Đề đúng là:

Tam giác $ABC$ thỏa mãn $a\left( {1 - 2\cos A} \right) + b\left( {1 - 2\cos B} \right) + c\left( {1 - 2\cos C} \right) = 0$ thì tam giác $ABC$ đều

$a\left( {1 - 2\cos A} \right) + b\left( {1 - 2\cos B} \right) + c\left( {1 - 2\cos C} \right)$

$=\left( {a + b + c} \right) - 2\sum {a\cos A}$

$= \left( {a + b + c} \right) - 2\sum {\dfrac{{a{b^2} + a{c^2} - {a^3}}}{{2bc}}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \sum {\dfrac{{{a^2}{b^2} + {a^2}{c^2} - {a^4}}}{{abc}}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) - \left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)}}{{abc}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{4{b^2}{c^2} - {{\left( {{a^2} - {b^2} - {c^2}} \right)}^2}}}{{abc}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left( {2bc - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {2bc + {a^2} - {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]}}{{abc}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{abc}}$

Biểu thức ban đầu $= 0$ nên

$\left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{abc}} = 0$

$\Leftrightarrow abc = \left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)$

Ta lại chứng minh được bất đẳng thức:

$abc \ge \left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)$

với $a$, $b$, $c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.

Dấu $ "=" $ xảy ra khi tam giác $ABC$ đều

$Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhung_2811: 01-05-2010 - 10:24

[minhhung_2811]

Bài 2

$\sin A = 2\sin B\cos C$

$\Leftrightarrow \sin \left( {B + C} \right) = 2\sin B\cos C$

$\Leftrightarrow \sin B\cos C + \sin C\cos B = 2\sin B\cos C$

$\Leftrightarrow \sin B\cos C - \sin C\cos B = 0$

$\Leftrightarrow \sin \left( {B - C} \right) = 0$

Vì $0 < B,C < \pi$

Nên $\sin \left( {B - C} \right) = 0 \Leftrightarrow B - C = 0 \Leftrightarrow B = C$

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$

[minhhung_2811]

Bài 3

$\sin A = \cos B + \cos C$

$\Leftrightarrow 2\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{A}{2} = 2\cos \dfrac{{B + C}}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \dfrac{A}{2}\left( {\cos \dfrac{A}{2} - \cos \dfrac{{B - C}}{2}} \right) = 0$

(vì $\sin \dfrac{A}{2} = \cos \dfrac{{B + C}}{2}$)

Khi đó $\left[ \begin{array}{l}\sin \dfrac{A}{2} = 0 \\ \cos \dfrac{A}{2} = \cos \dfrac{{B - C}}{2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0 \\ A = B - C \\ A = C - B \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = A + C \\ C = A + B \\ \end{array} \right.$

(vì $0 < A,B,C < \pi$)

Do đó, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ hoặc tại $C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhung_2811: 01-05-2010 - 09:59

[Lilynguyen]

giúp mình vài bài nữa nhé! Thanks nhiều ^^!

Cm: Tam giác ABC thỏa: cos2A+ cos2B + cos2C = -1 thì Tam giác ABC vuông
Cm: Tam giác ABC thỏa: sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC thì Tam giác ABC vuông
Cm: Tam giác ABC thỏa: sin4A + sin4B + sin4C = 0 thì Tam giác ABC vuông

[inhtoan]

giúp mình vài bài nữa nhé! Thanks nhiều ^^!
Cm: Tam giác ABC thỏa: cos2A+ cos2B + cos2C = -1 thì Tam giác ABC vuông

$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = - 1$

$\Leftrightarrow 1 + \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos ^2 A + 2\cos (B + C)\cos (B - C) = 0$

$ \Leftrightarrow \cos A[\cos A - \cos (B - C)] = 0$

$ \Leftrightarrow 2\cos A\sin \dfrac{{A + B - C}}{2}\cos \dfrac{{A - B + C}}{2} = 0$

$ \Leftrightarrow 2\cos A\cos \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{B}{2} = 0$

$ \Leftrightarrow \cos A = 0$

$ \Leftrightarrow A = \dfrac{\pi }{2}.$

(Vì $0 < A,B,C < \pi $)

[minhhung_2811]

Bài 3

$\sin 4A + \sin 4B + \sin 4C = 2\sin \left( {2A + 2B} \right)\cos \left( {2A - 2B} \right) + 2\sin 2C\cos 2C$

$= - 2\sin 2C\cos \left( {2A - 2B} \right) + 2\sin 2C\cos 2C$

$= 2\sin 2C\left[ {\cos 2C - \cos \left( {2A - 2B} \right)} \right]$

$= - 4\sin 2C\sin \left( {C + A - B} \right)\sin \left( {C - A + B} \right)$

$= - 4\sin 2A\sin 2B\sin 2C$

Biểu thức ban đầu bằng $0$ nên:

$ - 4\sin 2A\sin 2B\sin 2C = 0$ $ \Leftrightarrow \sin 2A\sin 2B\sin 2C = 0$

$\Leftrightarrow 8\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos A = 0 \\ \cos B = 0 \\ \cos C = 0 \\ \end{array} \right.$

(vì $0 < A,B,C < \pi$ nên $\sin A,\sin B,\sin C > 0$)

Do đó tam giác $ABC$ vuông tại $A$, hoặc $B$, hoặc tại $C$

[minhhung_2811]

Bài 2

$\sin A + \sin B + \sin C = 1 + \cos A + \cos B + \cos C$

$\Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2}$
$= 1 + 2\cos \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2{\cos ^2}\dfrac{C}{2} - 1$

$\Leftrightarrow 2\cos \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2} = 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2{\cos ^2}\dfrac{C}{2}$

$\Leftrightarrow \left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} - \cos \dfrac{C}{2}} \right)\left( {\cos \dfrac{C}{2} - \sin \dfrac{C}{2}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \dfrac{{A - B}}{2} = \cos \dfrac{C}{2} \\ \cos \dfrac{C}{2} = \sin \dfrac{C}{2} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \dfrac{{A - B}}{2} = \cos \dfrac{C}{2} \\ \cos \dfrac{C}{2} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2}} \right) \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A - B = C \\ A - B = - C \\ \dfrac{C}{2} = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2} \\ \dfrac{C}{2} = \dfrac{C}{2} - \dfrac{\pi }{2} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B + C \\ B = A + C \\ C = \dfrac{\pi }{2} \\ \end{array} \right.$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$, tại $B$ hoặc tại $C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhung_2811: 02-05-2010 - 10:58