Chủ đề này có 1 trả lời

[truongvoki_bn9x]

Mời thử sức cùng bài BDT mình vừa sáng tạo
Cho x, y, z $ \in [ \dfrac{1}{2};1] $
CMR:
$ 9 x^{3}y ^{3}z ^{3} +18 \geq (xy+yz+zx) ^{3} $

[danghaiphung169]

Mời thử sức cùng bài BDT mình vừa sáng tạo
Cho x, y, z $ \in [ \dfrac{1}{2};1] $
CMR:
$ 9 x^{3}y ^{3}z ^{3} +18 \geq (xy+yz+zx) ^{3} $

Đặt $f(x,y,z)$=VT-VP
Ta có : $f(x)=9x^{3}y^{3}z^{3}+18-x^{3}(y+z)^{3}-y^{3}z^{3}-3x^{2}y^{2}z^{2}(xy+xz+yz)$
$f'(x)=27x^2y^{3}z^{3}-3x^2(y+z)^3-6xy^{3}z^3-6x^{2}y^{3}z^{2}-6x^{2}y^{2}z^{3}$
$27x^2y^{3}z^{3}-12x^{2}yz(y+z)-6xy^{3}z^3-6x^{2}y^{3}z^{2}-6x^{2}y^{2}z^{3}$
$=12x^2y^2z(yz^2-1)+12x^2z^2y(y^2z-1)+3xy^3z^3(x^2-1)-3xy^3z^3-6x^2y^2z^2(y+z) \leq 0$
$ f(x)$ $ \geq f(1)=9y^3z^3+18-(y+z+yz)^3$
$f'(y)=24y^2z^3-3y^2-6yz-3z^2-9y^2z^2-6yz^3-9y^2z-3z^3-12yz \leq 0$
$f(y) \geq f(1)=z^3-12z^2-6z+17$
ta cần c/m
$ z^3-12z^2-6z+17 \geq 0$
$(z-1)(z^2-11z-17) \geq 0$ : đúng với z$ \in [ \dfrac{1}{2} ;1]$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
Bài giải trên là mình dùng phương pháp Fermat ( theo thầy Trần Phương) có lẽ hơi dài.......ai có cách giải gọn hơn post lên cho mình học hỏi nhé !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi danghaiphung169: 02-05-2010 - 08:17